Lukarsch

In der römischen Zahlschrift verwendet man bekanntlich für eins, fünf, zehn, fünfzig,hundert, fünfhundert, tausend jeweils eigene Zeichen (I, V, X, L, C, D, M).

• Man führt
• für 5 Einer das Zeichen V,
• für 2 Fünfer das Zeichen X,
• für 5 Zehner das Zeichen L,
• für 2 Fünfziger das Zeichen C,
• für 5 Hunderter das Zeichen D und
• für 2 Fünfhunderter das Zeichen M ein.

• So fasst man abwechselnd (alternierend) 2 bzw. 5 Elemente zusammen, man „bündelt“ sie.
• Man spricht daher in diesem Zusammenhang voneiner alternierenden Fünfer-Zweier-Bündelung.

Nullen werden in der römischen Zahlschrift nicht verwendet.

Zahlen, für die direkt kein Zahlzeichen zur Verfügung steht, beschreibt man additiv mittels der vorhandenen kleineren Zahlzeichen (XXXII = 32).

• Exakt kann man die heutige, international vereinbarte Schreibweise der römischen Zahlschrift durch folgende vier Regeln beschreiben:
• 1) Zuerst werden die Tausender notiert (falls sie vorkommen), dann die Hunderter,die Zehner und die Einer.

2) Falls zu D Hunderter, zu L Zehner, zu V Einer hinzugezählt werden sollen, stehen diese rechts vom D, L bzw. V.

3) Ein Zeichen I, X oder C darf von dem jeweils Fünf- oder Zehnfachen abgezogen werden. Das abzuziehende Zeichen wird dann unmittelbar links vor dem zuvermindernden Zeichen notiert.

4) Unter Beachten der ersten drei Regeln müssen möglichst wenige Zeichen geschrieben werden.

Die in der (späteren) Römerzeit bis zum Mittelalter benutzte Schreibweise lässt sich durch folgende drei Regeln beschreiben.

1) Zuerst werden die Tausender notiert, dann die Hunderter, die Zehner und die Einer.

2) Kein Zeichen darf so oft vorkommen, dass die untereinander gleichen Zeichen in ein höherwertiges Zeichen umgetauscht werden könnten.

3) Abweichend von der Regel 1 darf unmittelbar links vor dem ersten Zeichen derselben Sorte höchstens ein wenigerwertiges Zeichen stehen. Der kleinere Wert ist dann vom größeren abzuziehen.

• Während das heutige Regelsystem die Zahlzeichen jeweils eindeutig festlegt, trifft dies für das andere Regelsystem nicht zu, wie das folgende Beispiel belegt.
• heutige Schreibweise: 99 = XCIX
• Römerzeit / Mittelalter: 99 = LXXXXVIIII oder IC oder XCIX oder ...

Römische Zahlwörter sind teilweise recht lang und dadurch oft unübersichtlich.

Der gravierende Nachteil der römischen Zahlschrift gegenüber dem dezimalen Stellenwertsystem wird erkennbar, wenn man versucht, die vier Grundrechnungsarten in römischer Schreibweise durchzuführen.

Dieses schrittweise Vorgehen hat den Sinn, den Schülern fundierte Zahl- und Größenvorstellungen zu vermitteln, denn eine gründliche Kenntnis des Zahlenraums bis 100 hilft, den Zahlenraum zwischen 100 und 200, ... usw. genauer zu verstehen.

Dies hängt damit zusammen, dass unsere heutige Zahlschrift als Endstufe einer sehr langen, jahrtausende alten Entwicklung äußerst effizient ist.

Erst seit dem 16. Jahrhunderthat sich diese Zahlschrift bei uns durchgesetzt, bis dahin war die wesentlichweniger leistungsfähigere römische Zahlschrift gebräuchlich.

Wir gebrauchen zur Darstellung sämtlicher Zahlen insgesamt nur 10 Zahlzeichen, nämlich die Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Die Darstellung größerer und kleinerer Zahlen erfordert nicht jeweils eine Verabredung neuer Zahlzeichen. Dies wird dadurch erreicht, dass den Zahlzeichen nicht ständig ein fester Zahlenwert zugeordnet wird, sondern dass der Wert der Ziffern je nach Stellung im Zahlwort unterschiedlich ist. So besteht 111 nur aus Einsern, die jenach Stellung einen verschiedenen Wert haben (Stellenwert).

• Bei Stellenwertsystemen übermittelt jede Ziffer zwei Informationen
• den Zahlenwert und aufgrund ihrer Position im Zahlwort den Stellenwert.

Daher müssen bei der Ziffernschreibweise nicht besetzte Stellen durch Nullen kenntlich gemacht werden.

• Durch die Berücksichtigung der Stellung der Ziffern im Zahlwort kann man auf die Angabe von Bündelungseinheiten verzichten:
• 7H 4Z 3E = 743

Die jeweilige Bündelungsform wird benannt.

• Beispiel:
• zweitausend-dreihundert-vierzig

2340

• reine Zehnerbündelung,
• daher die Bezeichnung dezimales Stellenwertsystem.

Es ist ein typisches Kennzeichen der heutigen Zahlschrift.

• Die Kombination von Stellenwert und (Zehner-)Bündelung bewirkt, dass auch große Zahlen leicht lesbar sind und relativ kurze Zahlwörter besitzen.
• Schriftliche Rechenverfahren können rasch und relativ unkompliziert durchgeführtwerden.
• Die Kenntnis des kleinen 1+1 und 1.1 reicht zur Berechnung von Aufgaben mit beliebig großen Zahlen aus.

• Das Dualsystem benötigt zur Darstellung von Zahlen nur 2 Ziffern - 0 und 1.
• Es funktioniert wie das Dezimalsystem, ihr Stellenwert entspricht allerdings der zur Stelle passenden Zweierpotenz und nicht der Zehnerpotenz.

Adam Riese (1492 - 1559)

Er gliedert seine Rechenbücher in drei Abschnitte: “Zum Ersten will ich dich vnterrichtendie species auff den Linien, darnach auff der federn, vnnd als dann die Regel De tri auf beyde erzelen.”

• Methodik in drei Schritten:
• - die Rechnung auf den Linien, 1518;
• - die Rechnung auf den Federn, 1522;
• - die Rechenunung nach der lenge”, 1550.

“Die Rechnung auf den Linien” war für Anfänger bestimmt und für Leute, die nicht schreiben konnten oder wollten (Zählen, einfache Rechnungen).

“Die Rechnung auf den Federn” (Feder = Ziffer) hatte die jenigen im Auge, die das Zehnersystem kennenlernen wollten, das im Mittelalter nur bei den Gelehrten zu finden war (Ziffernrechnen).

“Die Rechenunung nach der lenge” (= ausführliche Rechnung) sollte denen dienen, die sich durch Benutzung der Vorteile Gewandtheit im Rechnen verschaffen wollten.

Jean Piaget (1896 - 1980)

• Er geht davon aus, dass die Denkentwicklung in mehreren Stadien abläuft.
• Drei Hauptstadien, die für ein Kind vom Vorschulalter bis zum Ende der Schulzeit charakteristisch sind.

Es ist durchaus möglich, dass sich ein Kind in verschiedenen Bereichen (der Mathematik) in unterschiedlichen Stadien befindet.

Hans Aebli (1923 - 1990)

• drei Hauptstufen bei Verinnerlichung einer Operation
• - konkrete Stufe
• - figurale Stufe
• - symbolische Stufe

• Jerome S. Bruner (1915 - ....)
• drei Darstellungsebenen
• - enaktive Darstellung
• - ikonische Darstellung
• - symbolische Darstellung

• Erfassen von Sachverhalten
• enaktiv: durch eigene Handlung (mit konkretem Material)
• ikonisch: durch Bilder oder Grafiken
• symbolisch: durch verbale Mitteilung oder im (mathematischen) Zeichensystem

Joachim Lompscher (1932 - 2005)

• geistige Operationen finden auf verschiedenen Stufen statt
• - Ebene der praktisch-gegenständlichen Handlung
• Die praktisch-gegenständliche Handlung liefert in gewissem Sinn die Stütze für das geistige Durchdringen des jeweiligen Erkennungsobjekts.
• Handlung im konkreten Umgang mit Materialien oder gegenständlichen Modellen

• - Ebene der unmittelbaren Anschauung
• Damit ist nicht die bloße Wahrnehmung, sondern die gedankliche Durchdringung eines unmittelbar wahrnehmbaren Erkennungsobjekts gemeint.
• sichtbares Veranschauungsmittel

• - Ebene der mittelbaren Anschauung
• Hier erfolgt die geistige Tätigkeit an der Vorstellung eines bereits früher wahrgenommenen Erkenntnisobjekts. Die Rolle der Sprache nimmt zu.
• anschschauliche Vorstellung

• - Ebene der sprachlich-begrifflichen Erkenntnis
• Die geistige Tätigkeit vollzieht sich hier vor allem im Begrifflichen, also anhand von abstrakt-unanschaulichen Gebilden.
• Sprache ist das notwendige Element, sie steuert die Handlung, sie fasst Ergebnisse zusammen

Lompscher legt besonderen Wert auf die Unterscheidung zwischen einem sichtbaren Veranschaulichungsmittel und einer anschaulichen Vorstellung (ohne Anwesenheit des Veranschaulichungsmittels).

Der Mathematikunterricht aller Stufen sollte von einer konkret-anschaulichen Darstellung (konkret-handelnd; zeichnerisch-ikonisch; Beispiele, mit denen man anschaulicheVorstellungen verbinden kann) allmählich zu einer abstrakt-symbolischen Darstellung (Fachtermini und mathematische Zeichen verwendend) übergehen - mit dem Ziel, dass der Schüler mit der abstrakten Formulierung immer noch eine konkrete Vorstellung verbinden kann.

Die Verinnerlichungsstufen sind nicht isoliert voneinander zu durchlaufen, sondern müssen eng miteinander verzahnt werden.

• Bei auftretenden Schwierigkeiten soll die Lehrerin / der Lehrer zu einer früheren Stufe zurückkehren.
• Auf den beiden ersten Stufen ist eine gute Unterstützung durch eine Verbalisierung der Handlung möglich.

Das Arbeiten in den verschiedenen Handlungsebenen funktioniert nur, wenn die für diese Ebenen notwendigen Fähigkeiten vorhanden sind.

• Kardinalzahlaspekt
• Ordinalzahlaspekt (Ordnungszahl und Zählzahl)
• Maßzahlaspekt
• Operatoraspekt
• Rechenzahlaspekt (algebraischer Aspekt und algorithmischer Aspekt)
• Codierungsaspekt

Diese Zahlaspekte darf man nicht isoliert sehen, sie hängen eng miteinander zusammen.Dabei spielt das Zählen eine große Rolle.

• Man gewinnt die Anzahl der Elemente einer gegebenen Menge durch Auszählen.
• Die zuletzt genannte Zahl beim Zählen gibt die Anzahl (Kardinalzahl) an.
• Die Reihenfolge bzw. den Rangplatz innerhalb einer Reihe (Ordnungszahlaspekt) erhält man durch das Abzählen.
• Ebenso kann man vielfach die Maßzahl einer Größe durch das Auszählen der Anzahl der erforderlichen Größeneinheiten gewinnen.
• Die Vielfachheit einer Handlung / eines Vorganges (Operatoraspekt) bestimmt man ebenfalls durch das Auszählen.
• Das Zählen hilft auch, die Ergebnisse beim Rechnen mit natürlichen Zahlen zu gewinnen, nämlich beispielsweise das Weiterzählen bei der Addition und das Rückwärtszählen bei der Subtraktion.
• Das Zählen stellt also eine Verbindung zwischen den verschiedenen Zahlaspekten her.

Schulanfänger sprechen schon vielfältige Zahlaspekte an. So kommen die natürlichen Zahlen außer in ihrer Bedeutung als Kardinal- und Maßzahlen insbesondere auch als Ordinal- und Rechenzahlen, ferner in ihrer Funktion als Marken auf Skalen sowie zum Zwecke der Codierung vor.

• Beispiele:
• Zählen, Rechnen, Schreiben, Geld, Preise, Kassa(beleg), Briefmarken, Autokennzeichen,Tankstelle, Tachometer, Hausnummer, Telefonnummer, Tastatur,Sportberichte und -übertragungen, Würfel(spiele), Domino, Messen, Maßband,Lineal, Buchseiten, Herdknöpfe, Waage, Backofen, Waschmaschine, Uhr,Thermometer, Wecker, Fernbedienung, Kochbuch, Inhalt von Packungen undDosen, Geburtstagskuchen, ...

• Schon um das zweite Lebensjahr beginnt der Erwerb der Zahlwortreihe und wird etwa in der ersten Schulstufe abgeschlossen.
• Beim Erwerb der Zahlwortreihe gibt es sehr große, individuelle Unterschiede. So beherrschen durchaus manche Dreijährige korrekt längere Abschnitte der Zahlwortreihe, manche Fünfjährige nicht.
• Von 3 1/2 Jahren aufwärts können die meisten Kinder Zahlwortfolgen bis 10 aufsagen und erwerben sich die Zahlwortfolge bis 20.
• Zwischen 4 1/2 und etwa 6 1/2 Jahren erkennen Kinder die gleichförmigen Bildungsgesetze innerhalb der einzelnen Dekaden zwischen 20 und 100.

• Folgende Stufen werden durchlaufen:
• - Auswendiglernen von Zahlwörtern,
• - Entdecken einer Regelmäßigkeit,
• - Fähigkeit des Aufsagens einer standardisierten Zahlwortreihe.

Unser Zahlensystem: Zahlwörter 1 bis 12, 13 bis 19, ab 20

• 1) nicht stabile, inkorrekte Folge am Anfang
• immer ein anderer Fehler (beim jeweiligen Aufsagen unterschiedlich)
• 2) stabile, inkorrekte Folge anschließend
• immer der gleiche Fehler (meist Auslassen eines Zahlwortes)
• 3) stabile, korrekte Folge am Schluss
• immer korrektes Aufsagen

Beim Gebrauch der Zahlwortreihe fällt auf, dass schon sehr früh Zahlwörter gegen Nichtzahlwörter abgegrenzt werden. Es tauchen nur ganz vereinzelt Buchstabenkombinationen in der Zahlwortreihe auf.

• 1) Eindeutigkeitsprinzip (Eins-zu-Eins-Prinzip)
• Jedem der zu zählenden Gegenstände wird genau ein Zahlwort zugeordnet.

• 2) Prinzip der stabilen Ordnung
• Die Reihe der Zahlnamen hat eine feste Ordnung

• 3) Kardinalzahlprinzip
• Das zuletzt genannte Zahlwort beim Zählprozess gibt die Anzahl einer Menge an.

• 4) Abstraktionsprinzip
• Die Zählprinzipien 1) bis 3) können auf jede beliebige Menge angewandt werden.

• 5) Prinzip der Irrelevanz der Anordnung
• Die Anordnung der zu zählenden Objekte ist für das Zählergebnis irrelevant.

Nicht nur Zählprinzipien sondern auch andere Konventionen werden verwendet.

Für alle natürlichen Zahlen a, b, c, ... gilt:

• Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
• a + b = b + a a . b = b . a

• Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
• a . (b + c) = a . b + a . c

• Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
• a + (b + c) = (a + b) + c = b + (a + c) (a . b) . c = a . (b . c) = b . (c . a)

• Diese Rechengesetze werden in der Grundschule selbstverständlich nicht abstrakt formuliert. Die Schüler lernen sie als Rechenvorteile kennen.
• So kann man
• - wegen der Gültigkeit des Kommutativgesetzes neue Aufgaben auf schon bekannteAufgaben zurückführen,
• - wegen der Gültigkeit des Distributivgesetzes eine schwierige Aufgabe häufig auf zwei leichtere Aufgaben zurückführen,
• - wegen der Gültigkeit des Assoziativgesetzes die Lösung von Aufgaben wesentlich vereinfachen.

• Ausgleichsgesetz
• dient bei den Grundrechnungsarten der Vereinfachung der Rechenoperationen.

• Addition
• Wenn man zu einem Summanden eine Zahl addiert und diese gleichzeitig vom anderen Summanden subtrahiert, so bleibt der Wert der Summe gleich.

• Subtraktion
• Wenn beide Zahlen um den selben Wert vergrößert oder verkleinert werden, so ändert sich der Wert der Differenz nicht (=Monotoniegesetz).

• Multiplikation
• Werden bei einem Produkt die Faktoren gegenläufig verändert, so bleibt der Wert des Produktes gleich.

• Division
• Der Wert eines Quotienten bleibt gleich, wenn Dividend und Divisor gleichlaufend verändert werden, wenn also beide mit der gleichen Zahl vervielfacht bzw. durch sie geteilt werden.

• Namen (Bezeichnungen) der Teile der
• - Addition: Posten (Summanden), Summe
• - Subtraktion: Minuend, Subtrahend, Differenz
• - Multiplikation: Multiplikand, Multiplikator, Produkt
• - Division: Dividend, Divisor, Quotient, Rest

Zahlenzerlegungen, Halbieren/Verdoppeln, direkte Zahlenvergleiche, Verändern von Mengen

Mengen, Längen- und Zahlenstrahl, Strichlisten, Ketten

• Grundaufgabe:
• 5 + 3 =
• Tauschaufgabe:
• 3 + 5 =
• Nachbaraufgaben:
• 4 + 3 =
• 6 + 3 =
• 5 + 2 =
• 5 + 4 =
• Probe- oder Umkehraufgaben:
• 8 - 5 =
• 8 - 3 =
• Zerlegungsaufgaben:
• 5 + 2 + 1 =
• 5 + 1 + 2 =
• 5 + 1 + 1 + 1 =
• 4 + 1 + 3 =
• 1 + 4 + 3 =
• 3 + 2 + 3 =
• 2 + 3 + 3 =
• 2 + 2 + 1 + 3 =
• 2 + 1 + 2 + 3 =
• 1 + 2 + 2 + 3 =
• 2 + 1 + 1 + 1 + 3 =
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 3 =
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 2 + 1 =
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 2 =
• 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1+ 1+ 1 =
• und weitere Möglichkeiten!

Multiplikation lässt sich auffassen und definieren als fortgesetzte Addition gleicher Summanden.

a1 + a2 + ... + an = n . a

• Aspekte der Multiplikation
• - zeitlich-sukzessiver Aspekt: der gleiche Vorgang wiederholt sich mehrmals
• - räumlich-simultaner Aspekt: das räumliche Nebeneinander von bestimmten Mengen wird beschrieben
• - kombinatorischer Aspekt: Paare bzw. Verbindungen zwischen den Elementen zweier Mengen werden bestimmt (wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es mit 17 Hosen und 15 Blusen?)
• - Vergleichsaspekt: ein Operator wird zum Vergleichen zweier Größen benutzt

• Darstellungsmodelle der Multiplikation
• Vereinigung gleichmächtiger Mengen, Kombination aus zwei Mengen,Baumdiagramm, Wegemodell, „Maschinen“, Zahlenstrahl, Punktfeld

Multiplikand und Multiplikator

• Methodische Hinweise / Sprechweise
• Bei der Multiplikation gelten das Kommutativ-, Distributiv- und Assoziativgesetz.

• Mathematisch wird die Division als Umkehrung der Multiplikation definiert:
• a . x = c oder c : a = x für a ungleich 0

• Arten der Division
• - Verteilen: Zerlegen einer Menge in eine vorgeschriebene Anzahl gleichmächtiger Teilmengen
• Rechnung: 18 : 6 =
• - Aufteilen oder Messen: Zerlegen einer Menge in gleichmächtige Teilmengen vorgeschriebener Größe Rechnung: 6 in 18 =

• Die Ziele und das Warum eines Unterrichtsfaches sind, wie schulische Erziehungallgemein, immer abhängig vom jeweiligen gesellschaftlich-politischen Grundverständnis,vom angestrebten Bild von Schule bzw. vom Menschen selbst.
• Ziele eines Unterrichtsfaches sind eingeflochten in die allgemeinen Erziehungsziele.

• - Fachübergreifende Ziele, die nicht auf den Mathematikunterricht beschränkt sind,für deren Erreichen er aber einen besonderen Beitrag leisten kann.
• - Fachbezogene Ziele, die als spezielle intellektuelle Fähigkeiten nicht an spezifische Themen des Mathematikunterrichts gebunden sind.
• - Fach- und inhaltsspezifische Lernziele

• - Freude am eigenen Denken und Auseinandersetzen mit Problemen,
• - Risikobereitschaft, beim Denken eigene Wege zu gehen,
• - Aufbau einer kritischen Haltung gegenüber der Einstellung, alles sei berechenbar bzw. mit mathematischen Mitteln in den Griff zu bekommen,
• - verstärkte Reflektiertheit gegenüber den „erstbesten“ Lösungshypothesen, Abwägen mehrerer möglicher Lösungswege