-
Dokažte ∀x(A(x) → B(x)), ∃x(A(x) ∧ C(x)) I- ∃x(C(x) ∧ B(x)):
- 1. ∀x(A(x) → B(x)) ...předpoklad
- 2. ∃x(A(x) ∧ C(x)) ...předpoklad
- 3. A(a) ∧ C(a) ...∃E (2)
- 4. A(a) → B(a) ...UI (1) (naším t je a)
- 5. A(a) ...Simp (3)
- 6. B(a) ...MP (4,5)
- 7. C(a) ...Simp (3)
- 8. C(a) ∧ B(a) ...I∧ (7,6)
- 9. ∃x(C(x) ∧ B(x)) ...∃I (8)
-
Dokažte ∀x((A(x) ∨ B(x)) → ¬C(x)), ∃xA(x) I- ∃x¬C(x):
- 1. ∀x((A(x) ∨ B(x)) → ¬C(x)) p°edpoklad
- 2. ∃xA(x) p°edpoklad
- 3. A(a) ...∃E (2)
- 4. (A(a) ∨ B(a)) → ¬C(a) ...UI (1)
- 5. A(a) ∨ B(a) ...Add (3)
- 6. ¬C(a) ...MP (4,5)
- 7. ∃x¬C(x) ...∃I (6)
-
Dokažte ∀x((A(x) → B(x)), ∃x(C(x) ∧ A(x)) I- ∃x(C(x) ∧ B(x)):
- 1. ∀x((A(x) → B(x)) ...předpoklad
- 2. ∃x(C(x) ∧ A(x)) ...předpoklad
- 3. C(a) ∧ A(a) ...∃E (2)
- 4. (A(a) → B(a) ...UI (1) (naším t je a)
- 5. A(a) ...Simp (3)
- 6. C(a) ...Simp (3)
- 7. B(a) ...MP (5,4)
- 8. C(a) ∧ B(a) ...∧I (6,7)
- 9. ∃x(C(x) ∧ B(x)) ...∃I (8)
-
Dokažte ∀x((C(x) → ¬Z(x)), ∃x(S(x) ∧ Z(x)) I- ∃x(S(x) ∧ ¬C(x)):
- 1. ∀x((C(x) → ¬Z(x)) ...předpoklad
- 2. ∃x(S(x) ∧ Z(x)) ...předpoklad
- 3. S(a) ∧ Z(a) ...∃E (2)
- 4. C(a) → ¬Z(a) ...UI (1)
- 5. Z(a) ...Simp (3)
- 6. ¬C(a) ...MT (4,5)
- 7. S(a) ...Simp (3)
- 8. S(a) ∧ ¬C(a) ...∧I (6,7)
- 9. ∃x(S(x) ∧ ¬C(x)) ...∃I (8)
-
Dokažte ∃x A(x)→∀x (B(x)→C(x)), A(a)∧B(a) ٟI- C(a):
-
Dokažte ∀x (A(x)→B(x)), ∃x (A(x)∧C(x)) ٟI- ∃ x (C(x)∧B(x)):
-
Dokažte ∀x∀y (P(x,y)→¬P(y,x)), ∀x∀y (P(y,x)↔¬(Q(x,y)∨R(y,x))), ∀x∀y (P(x,y)→¬R(y,x)), P(a,b) ٟI- Q(b,a):
-
Dokažte ∀x (A(x)→B(x))→∀x (C(x)→A(x)), ∀x ¬A(x) ٟI- ∀ x ¬C(x):
-
Dokažte ∃x A(x)→B(y) ٟI- ∀ x (A(x)→B(y)) (podmiňovaný důkaz, CP):
-
Dokažte ∀x (P(x)→Q(x)) ٟI- (∃x P(x)→∃x Q(x)): (CP)
-
Dokažte ∀x(A(x) → B(x)) I- ∀x(A(x) → (B(x) ∨ C(x))): (CP)
-
Dokažte I- ¬∀xA(x) ↔ ∃x¬A(x), tj. De Morganův zákon (důkaz formule tvaru ↔ spočívá v důkazu obou směrů ↔, tj. v důkazu → a ←):
- Podle věty o dedukci odpovídají tomuto teorému následující odvozená dedukční pravidla, jež budeme značit DM:
-
Důkaz ¬∃x A(x)↔∀x ¬A(x) je prakticky izomorfní, proto jsou příslušná dvě odpovídající pravidla níže značena rovněž DM
-
Dokažte ¬∃x¬(P(x) → Q(x)), ¬∃xQ(x) I- ¬∀xP(x) (Pravidlo záměny kvantifikátorů, DM, je dokázáno výše):
-
Dokažte ¬∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)), ¬∀x(¬R(x) ∨ Q(x)) I- ∃x¬P(x)
(Pravidlo záměny kvantifikátorů, DM, je dokázáno ob jeden příklad výše):
-
Dokažte ∀x∀y(P(x, y) → ¬P(y, x)), ∀x∀y(P(y, x) ↔
¬(Q(x, y) ∨ R(y, x))), ∀x∀y(P(x, y) → ¬R(y, x)), P(a, b) I- Q(b, a):
-
Dokažte ∀x (A(x)→B(x))→∀x (C(x)→A(x)), ∀x ¬A(x) ٟI- ∀x ¬C(x):
-
Dokažte ∀x(P(x) → (x≠a)) I- ¬P(a):
-
Dokažte I- (t1 = t2) ↔ (t2 = t1), tj. zákon komutativity =:
-
Dokažte ∀x(∃y(x=y) → F(x)),(b=a) I- F(a):
-
Dokažte P(b), ¬∀x((x=b) → P(x)) I- ¬P(b):
-
Dokažte I- (t1 = t2) → ((t2 = t3) → (t1 = t3)), tj. zákon tranzitivity identity:
E= (1,2; na základě 1 dosazujeme do (x=t3))
-
Dokažte
F(a) ∧ ∀x(F(x) → (x = a)),(a 6= b), G(b) I- ∃x(G(x) ∧ ¬F(x)):
|
|