14 Overovani platnosti usudku metodou protiprikladu

• ^{Podobně jako v rámci VL, i v rámci PL lze prověřovat platnost úsudků několika způsoby, zejména však důkazem závěru z premis nebo metodou protipříkladu.}
• Metoda protipříkladu je vlastně důkaz sporem. Metoda má však silně sémantický rys, vychází totiž z  definice vyplývání. Úsudek totiž není platný, pokud existuje taková interpretace, při níž jsou všechny premisy pravdivé, ale závěr nepravdivý, tj. když závěr nevyplývá z premis. Naším cílem proto bude najít takovouto interpretaci. Pokud taková interpretace existuje, úsudek platný není. Pokud ale takovou interpretaci nelze najít, úsudek platný je.
• Aplikace metody se podobá prověřování logické pravdivosti formulí metodou protipříkladu. ^{Vzhledem k tomu, že vyplývání závěru z premis koresponduje s logickou pravdivostí formule, jejíž závěr je implikován konjunkcí premis, můžeme platnost úsudků zjišťovat i prověřováním logické pravdivosti odpovídajících formulí. Přímé prověřování úsudku je však o něco pohotovější.}

• ^{Podobně jako v příkladech interpretace formulí, pokud budeme interpretovat term, který je vlastně proměnná, tak namísto „ℑ(x)[e]“ budeme psát jednodušeji „e(x)“, v případě konstant zase „ℑ(c)“.}
• ^{Pokud budeme zkoumat uzavřenou formuli, budeme rovnou uvádět její pravdivost/nepravdivost, tj. ℑ(A), nikoli pravdivost/nepravdivost při ohodnocení, tj. nikoli ℑ(A)[e].}
• ^{Škrtnutím znaku alfabety jako např. „α“ nebo dvojice „〈α,β〉“ níže značíme, že dané individuum či dvojice individuí nenáleží do interpretace určitého predikátového symbolu.}
• ^{Pokud to nebude určeno jinak, nechť U={α,β,γ}.}

Shrnujeme. Při ověřování platnosti úsudků nejprve navrhneme takovou interpretaci, při níž je závěr nepravdivý. Tuto interpretaci se snažíme prosadit i v premisách; naším zájmem je, aby všechny byly pravdivé; onu původně navrženou interpretaci proto podle potřeby modifikujeme. Pokud to není nevyhnutelné, interpretaci se snažíme navrhnout jen částečnou a rozšiřovat ji, jen pokud je to potřeba.

• 1) Nejprve provedeme jeho vhodnou formalizaci, poněvadž platnost jazykového úsudku budeme zjišťovat na jeho formalizaci:
• ∀x (V(x) ∨ M(x))
• ∀x (V(x) → M(x))
• -------------------
• ∀x V(x) ∨ ∀xM(x)

• 2) Nyní budeme hledat takovou interpretaci závěru, při níž je závěr nepravdivý. Tuto interpretaci se budeme snažit udržet, byť někdy s případnými modifikacemi, jež budou činěny v zájmu toho, aby byly pravdivé premisy. Pokud takovou interpretaci najdeme, úsudek je neplatný; pokud takovou interpretaci nelze nalézt, úsudek je platný.
• ^{Nechť U={α,β}. Úsudky obecně prověřujeme pro teoreticky nekonečné U, ale v mnoha případech postačí se omezit na tři, někdy dokonce jen dvě individua}

• a1) Interpretace závěru. Chceme, aby byl nepravdivý, tj. 0. Proto navrhneme například ℑ(V)={α}, ℑ(M)=∅:
• 

• b1) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1. Musíme však uplatnit doposud získanou interpretaci (a tu modifikovat jen pokud je to nutné):
• 
• Při stávající interpretaci tato premisa není pravdivá. Jenže ona by pravdivá být mohla, jen musíme vhodně modifikovat interpretaci M.
• b2) Interpretace první premisy. Budiž nově ℑ(M)={β} (jde o  modifikaci původní interpretace, neznačíme ji však ℑʹ, ač je odlišná od ℑ), pak první premisa je pravdivá:
• 

• a2) Interpretaci ℑ(M)={β} jsme samozřejmě navrhovali zároveň s  ohledem na to, aby při ní byl nepravdivý závěr:
• 

• c1) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1. Podíváme-li se na fungování doposud získaných dílčích interpretací, zjistíme, že tato premisa pravdivá není:
• 

• c2) To ale ještě neznamená, že úsudek je platný. Druhou premisu totiž učiníme pravdivou, když se vyhneme tomu, aby v  prvním řádku tabulky hodnot pod formulí bylo 1→0. 
• Máme při tom dvě možnosti. Kdybychom přibrali do ℑ(M)={β} také α – aby v daném řádku bylo 1→1, tak by byla pravdivou formule ∀x M(x), takže by se stal závěr pravdivý, což nechceme. Zbývá možnost, že ubereme individuum α z ℑ(V), načež ℑ(V)=∅:
• 

• a3) To je interpretace, při níž – jak jsme si už při jejím navrhování kontrolně ověřili – je závěr v souladu se záměrem nepravdivý:
• 

• b3) Jenže jak zjišťujeme, při této interpretaci ℑ přestane být pravdivou první premisa:
• 

Když si zkontrolujeme celý postup zjistíme, že vskutku nelze nalézt interpretaci, při níž by všechny premisy byly pravdivé a závěr nikoli. Úsudek je tedy platný.

• a1) Interpretace závěru. Chceme, aby závěr byl 0. Aby závěr byl 0, je více možností. My ale budeme rutinně volit interpretaci jako ℑ(P)={α,β,γ}, ℑ(Q)={α,β,γ} (tj. množiny jsou disjunktní a aspoň jedno individuum není v žádné z nich):
• 

• b1) Interpretace premisy. Chceme, aby premisa byla 1, nicméně musíme respektovat doposud navrženou interpretaci, při níž je nepravdivý závěr:
• 

To, že je premisa nepravdivá, ale ještě neznamená, že úsudek je platný. Interpretace druhé premisy se dá totiž modifikovat tak, aby byla pravdivá.

• b2) Díky námi navržené rutinní interpretaci pro závěr začínající ∃ snadno vidíme, co opravit, takže ℑ(P)={α,β,γ}, ℑ(Q)={α,β,γ}:
• 

• a2) Interpretace závěru. Samozřejmě, že při modifikované interpretaci musí být nepravdivý závěr:
• 

Našli jsem tedy interpretaci, při níž jsou premisa pravdivá a závěr nepravdivý. Úsudek je tedy neplatný

• Ve formalizaci jsou „PT“, „PO“ a „RT“ zjednodušenými formalizacemi „pravidelný trojúhelník“, „pravidelný obrazec“, „rovnostranný trojúhelník“. Vnitřní struktura těchto složených predikátů se totiž zjevně nepodílí na vyplývání, proto od ní můžeme abstrahovat:
• ∀x (PT(x) → ¬PO(x))
• ∀x (RT(x)) → PO(x))
• ------------------------
• ∀x (RT(x) → ¬PT(x))

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto např. ℑ(RT)={α,...}, ℑ(PT)={α,...}. Nedourčenost této interpretace není překážkou určení sémantické hodnoty prošetřované formule (namísto otazníků lze psát např. tečky):
• 

Interpretaci se nyní nesnažíme zúplnit. Pro nepravdivost závěru je totiž nutné vědět pouze o jediném individuu – my jsme si vybrali α –, že patří do interpretací daných dvou predikátových symbolů.

• b) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, proto musí být ℑ(PO)={α,...}, aby kvůli α nebyl antecedent 1 a konsekvent 0 (tj. aby nebylo v daném řádku 1→0):
• 

Interpretaci stále nezúplňujeme, hned se totiž podíváme, jak ovlivní pravdivost druhé premisy.

• c) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, musíme však přitom zohlednit doposud získané dílčí interpretace predikátových symbolů:
• 

Vidíme, že tato premisa nemůže být při dané interpretaci pravdivá. Při revizi dosavadního postupu pak zjistíme, že interpretaci, při níž by byly všechny premisy pravdivé a závěr nepravdivý, ani nelze navrhnout. Úsudek je tedy platný, jeho závěr vyplývá z jeho premis.

• Formalizace:
• L(g)
• ---------
• ∃x L(x)

Nechť U={α,β,γ,...}, ℑ(g)=γ.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto např. ℑ(L)=0:
• 

• b) Interpretace premisy. Chceme, aby byla 1. Interpretaci ale musíme spočítat podle již získané interpretace predikátového symbolu L (nelze mít rozpor v interpretaci):
• L (g)
• --------
• 0 γ

Úsudek je tedy platný (jde vlastně o  zákon abstrakce). (Jeho závěr vyplývá z premis, neboť není možná taková interpretace, při níž by všechny premisy, zde jen jedna, byly pravdivé a závěr přitom nepravdivý.)

• Formalizace:
• O(a)
• ----------
• ∀x O(x)

Nechť U={α,β,γ}, ℑ(a)=α.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto nesmí být ℑ(O)=U. S ohledem na pravdivost první premisy volíme ℑ(O)={α}:
• 

• b) Interpretace premisy. Chceme, aby byla 1, ale musíme přitom zohlednit dosud získanou interpretaci predikátového symbolu O:
• O  (a)
• 1   α

Úsudek tedy není platný. (Jeho závěr nevyplývá z premis, neboť je možná taková interpretace, při níž všechny premisy, zde pouze jedna, jsou pravdivé a závěr přitom nepravdivý.

• Formalizace:
• ∀x S(x)
• ----------
• ∃x S(x)

Nechť U={α,β,γ,...}, e(x)=β.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto musí být ℑ(S)=∅ (není jiná alternativa):
• 

• b) Interpretace premisy. Chceme, aby byla 1, ale musíme zohlednit doposud získanou interpretaci predikátového symbolu S
• 

• Premisa tedy nemůže být při nepravdivosti závěru pravdivá.
• Úsudek je tedy platný (jde vlastně o zákon partikularizace).

Úsudek není platný. Formalizace: ∃x V(x) ∴ V(a). Nechť ℑ(a)=α. Aby závěr byl 0, tak např. ℑ(V)={α,β,...}. Chceme, aby premisa byla 1, což se při této ℑ podařilo

Úsudek není platný. Formalizace: ∀x S(x) ∴ ∃x ¬S(x). Chceme, aby závěr byl 0, proto musí být ℑ(S)=U. Chceme, aby premisa byla 1, což se při této ℑ podařilo.

Úsudek je platný (jde vlastně o  zákon konkretizace). Formalizace: ∀x O(x) ∴O(a). Nechť ℑ(a)=α. Chceme, aby závěr byl 0, proto např. ℑ(O)={α,…}. Chceme, aby premisa byla 1, ale to se při této ℑ nepodařilo, není to ani možné.

• Formalizace:
• ∀x (Č(x)→S(x))
• Č(s)
• --------------
• S(s)

Nechť U={σ,π,α} (tj. Sókratés, Platón, Aristotelés), ℑ(s)=σ.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto ℑ(S)={σ,...}. To, zda π a α jsou v této ℑ(S), necháváme neurčeno – nic nás nyní nenutí navrhovat, že tam jsou, nebo že tam nejsou.
• S  (s)
• 0   σ

• b) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, a  proto navrhujeme ℑ(Č)={σ,…}:
• Č   (s)
• 1    σ

• c) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, ale musíme přitom zohlednit již získané interpretace predikátových symbolů
• 

Úsudek je tedy platný

• Formalizace:
• ∃x (U´(x) ∧ ¬H(x))
• --------------------
• ∃x (H(x) ∧ ¬U´(x))

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto navrhneme, aby se ℑ(H) a ℑ(Uʹ) nepřekrývaly – jedině takto bude pod ∧ ve všech řádcích 0.
• Navrhujeme například ℑ(H)={α,β,γ}, ℑ(Uʹ)={α,β,γ}, jež je optimální pro závěry, jež jsou částečnými výroky:
• 

• b) Interpretace premisy. Chceme, aby byla 1, přičemž zohledňujeme dosavadní interpretaci predikátových symbolů:
• 

• Formalizace:
• ∀x (¬Č(x)→B(x))
• -----------
• ∀x (¬B(x)→Č(x))

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto např. ℑ(B)={α,β}, ℑ(Č)=∅; nezbytné je, aby byl aspoň jeden řádek pod → roven 0 (tj. 1→0):
• 

• b) Interpretace premisy. Chceme, aby byla 1, a přitom využíváme naši stávající interpretaci
• 

Jenže jak vidíme, ve třetím řádku hodnot je 0, ač my chceme 1. Jenže, abychom měli i v tomto řádku 1, musela by být ℑ upravena tak, že by zas nebyl závěr roven 0. Z toho vidíme, že neexistuje taková ℑ, při níž by byla premisa pravdivá a závěr nikoli. Úsudek tedy je platný.

• Formalizace:
• ∀x (P(x) → L(x)) → ¬P(2)
• ------------------
• ∃x (P(x) ∧ ¬L(x))

Nechť U={_1,2,3} (tj. určitá přirozená čísla), ℑ(2)= ₂.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0. Proto např. ℑ(P)={_1,2,3},ℑ(L)={_1,2,3}:
• 

• b) Interpretace první premisy. Při dosud navržené interpretaci je konsekvent, tj. ¬P(2), roven 0, avšak antecedent, tj. ∀x (P(x)→L(x)), roven 1:
• 
• Po revizi postupu zjistíme, že skutečně nelze nalézt takovou interpretaci, při níž by všechny premisy byly pravdivé a závěr nikoli. Úsudek je tedy platný.

• 
• c) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, proto nesmí ani jednou nastat 1→0, protože celá premisa by byla 0. Proto: ℑ(N)={κ,...}. Zatím se nezajímáme o ℑ(D(x)) či ℑ(N(x)) pro jiná individua než κ:
• 

• d) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1; ale tuto interpretaci musíme spočítat podle již dosažených interpretací predikátových symbolů. Jak vidíme, tyto dílčí interpretace vedou k tomu, že interpretace první premisy je 0:
• 

• Úsudek není platný.
• Formalizace:
• ∀x (H(x)→R(x))
• R(a)
• -----------
• H(a).

Nechť ℑ(a)=α.

• Chceme, aby závěr byl 0, proto např. ℑ(H)={α,…}.
• Chceme, aby druhá (jednodušší) premisa byla 1, proto ℑ(R)={α,...}.
• Chceme, aby první premisa byla 1, pro což musíme zohlednit již získanou interpretaci predikátových symbolů; první premisa bezproblémově pravdivá je.

Úsudek je platný.

• Formalizace:
• ∃x (Uʹ(x)∧H(x))
• ----------------
• ∃x (H(x)∧Uʹ(x))

• Chceme, aby závěr byl 0, proto např. ℑ(H)= {α,β,γ}, ℑ(Uʹ)={α,β,γ}, dané množiny mají tedy prázdný průnik.
• Chceme, aby premisa byla 1, ale při takové interpretaci, při níž je závěr nepravdivý, to není možné.

• Formalizace:
• ∀x (R(m,x)→M(x))
• M(p)
• ----------------
• R(m,p)

Nechť U={μ,π} (tj. Martina, Pavel), ℑ(m)=μ, ℑ(p)=π.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto musí být ℑ(R)={〈μ,π〉,…}:
• R  (m, p)
• 0    μ  π

• b) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, proto musí být ℑ(M)={π,…}:
• M  (p)
• 1   π

• c) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, ale musíme přitom zohlednit již získané dílčí interpretace predikátových symbolů:
• 

• Vidíme však, že na místě „?“ může být jakákoli distribuce pravdivostních hodnot kromě 1 pod R a 0 pod M. Nic nám v úsudku nebrání v tom, abychom dosavadní specifikaci ℑ zúplnili tak (např. na ℑ(R)={〈μ,π〉,〈μ,μ〉}, ℑ(M)={π}), aby
• první premisa byla pravdivá. Úsudek tedy není platný.

• Formalizace:
• ∀x (VO(x)→R(g,x))
• VO(a)
• ------------
• R(g,a)

Nechť U={α,γ,ν} (tj. Gabriela, Aida, Nabucco), ℑ(g)=γ, ℑ(a)=α.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto musí být ℑ(R)={〈γ,α〉,...}.
• R  (g, a)
• 0   γ  α

• b) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, proto ℑ(VO)={α,...}:
• VO  (a)
• 1     α

• c) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, ale musíme zohlednit doposud získané dílčí interpretace predikátových symbolů:
• 

Vidíme, že doposud získané dílčí interpretace neumožní, aby daná premisa byla pravdivá. Takže nelze nalézt interpretaci, při níž jsou premisy pravdivé a závěr nikoli. Úsudek je tedy platný.

• Formalizace:
• ∀x (R(m, x) → (V(x) ∨ I(x)))
• ¬I(k)
• ----------------
• R(m, k) → V(k)

Nechť U={μ,κ} (tj. Magda, Kryšpín), ℑ(m)=μ, ℑ(k)=κ.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto musí být ℑ(R)={〈μ,κ〉,...} a ℑ(V)={κ,...}:
• 

• b) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, proto musí být ℑ(I)={κ,...}:
• ¬   I  (k)
• 1   0   κ

• c) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1. Musíme přitom ale zohlednit dosud získané dílčí interpretace predikátových symbolů:
• 

Aniž bychom museli danou interpretaci zúplňovat, je zřejmé, že při nepravdivosti závěru nemohou být všechny premisy pravdivé. Úsudek je tedy platný.

• Formalizace:
• ∀x (R(x,m)→R(x,e))
• ∀x (S(x)→¬R(x,m))
• S(k)
• --------------
• ¬R(k,e)

Nechť U={ε,μ,κ}, ℑ(e)=ε, ℑ(m)=μ, ℑ(k)=κ.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto musí být ℑ(R)={〈κ,ε〉,...}.
• ¬  R (k, e)
• 0  1   κ  ε

• b) Interpretace třetí premisy. Chceme, aby byla 1, proto musí být ℑ(S)={κ,...}.
• S  (k)
• 1   κ

• c) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, proto se nesmí ani jednou vyskytnout řádek 1→0. Zatím se nezajímáme o jiné hodnoty x než κ, proto ℑ(R)={〈κ,ε〉,〈κ,μ〉,...}:
• 

• d) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, proto nesmí být ani v  jednom řádku 1→0. Přezkoumáme fungování dosavadních dílčích interpretací predikátových symbolů:
• 
• Vidíme, že dosavadní dílčí interpretace neohrožují pravdivost premisy, interpretaci lze tedy zúplnit tak, aby všechny premisy byly při nepravdivosti závěru pravdivé. Úsudek tedy není platný.

• Formalizace:
• ∀x (V(x) ∧ M(x))
• -----------------
• ∀x V(x) ∧ ∀x M(x)

Nechť U = {α, β}.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto např. ℑ(V)={α,β}=U, ℑ(M)={α,β}:
• 

• b) Interpretace premisy. Chceme, aby byla 1, což při dosavadní interpretaci ale nelze:
• 

Úsudek je tedy platný. Lze si povšimnout, že premisa vlastně říká, že ℑ(V)=ℑ(M), následně nejde udělat interpretaci závěru takovou, aby byl nepravdivý. (Srov. odpovídající logicky pravdivou formuli PL)

• Formalizace:
• ∀x (V(x) ∨ M(x))
• ------------------
• ∀x V(x) ∨ ∀x M(x)

Nechť U = {α, β}.

• a) Interpretací, při nichž je závěr 0, je více a řešení úlohy by se nám větvilo. Vyjdeme proto z interpretace premisy, chceme aby byla 1. Optimální volbou je ℑ(V)={α}, ∀(M)={β}, protože se vyhýbá extrému jako například ℑ(V)=∅, ℑ(M)=U. Pak:
• 

• b) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, což při zvolené interpretaci skutečně lze:
• 

• Formalizace:
• ∃x∀y M(x,y)
• ----------------
• ∀y∃x M(x,y)

Nechť U={α,β,γ}.





Úsudek je tedy platný.

• Formalizace:
• ∀y∃x M(x,y)
• --------------
• ∃x∀y M(x,y)

Nechť U={α,β,γ}.





Úsudek tedy není platný.

• Formalizace („LV“ je zjednodušenou formalizací „letěli do vesmíru“):
• ∀x (P(x) → ¬LV(x))
• ∃x (Z(x) ∧ ¬P(x))
• ∃x (Z(x) ∧ LV(x))

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 1, a proto například ℑ(Ž)={α,β,γ}, ℑ(LV)={α,β,γ}:
• 

• b) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, proto musí být vzhledem k dosavadní interpretaci Ž být ℑ(P)= {γ,...}:
• 
• c) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, avšak respektujeme přitom dosud získané dílčí interpretace predikátových symbolů:
• 

Vidíme, že nám nic nebrání zúplnit interpretaci tak, aby i tato premisa byla pravdivá. Takže tím bychom získali alespoň jednu interpretaci, při níž jsou všechny premisy pravdivé a závěr nepravdivý. Úsudek tedy není platný.

• Formalizace:
• ∀x (P(x) → ¬D4(x))
• ∃x (P(x) ∧ S(x))
• -----------------------
• ∃x (S(x) ∧ ¬D4(x))

Nechť U = {_{1,2 ,3 ,4} }, e(x) =₃.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto například ℑ(S)={₄},ℑ(D4)={₄} (fakticky vzato je závěr pravdivý právě kvůli číslu ₂, my ale nyní v zájmu sestavení protipříkladu kontrafaktuálně navrhujeme, že není):
• 

• b) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, proto když ohodnocením x je ₄, tak toto číslo nesmí být v interpretaci P, tj. ℑ(P)={₄,...} (číslo „4“ je přeškrtnuto), aby v daném řádku nebylo 1→0. Danou interpretaci dále nezúplňujeme, stejně bude celá premisa 1:
• 

• c) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, ale musíme přitom zohlednit dosavadní dílčí interpretace predikátových symbolů:
• 

Vidíme, že premisa pravdivá není. Při revizi postupu zjistíme, že opravdu nelze nalézt takovou interpretaci, kdy by premisy byly pravdivé a  závěr nikoli. Úsudek je tedy platný.

• Formalizace:
• ∀x (PH(x) → ¬L(x))
• ∀x (L(x) → K(x))
• -----------------
• ∃x (K(x) ∧ ¬PH(x))

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byla 0, proto např. ℑ(K)={α,β,γ} a ℑ(PH) ={α,β,γ}:
• 

• b) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, proto musíme zajistit, aby pro α i γ byl antecedent 0, když už je pro ně konsekvent 0. Proto ℑ(L)={α,...,γ} (následně je premisa 1, protože je 1 i ten řádek, kdy nevíme, zda β je v ℑ(L)):
• 

• c) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, respektujeme však při tom dosavadní dílčí interpretace predikátových symbolů:
• 

Aby tato premisa byla 1, stačí vhodně zúplnit interpretaci L na ℑ(L)={α,β,γ}. Našli jsme tedy interpretaci, při níž jsou všechny premisy pravdivé a závěr přitom nepravdivý. Úsudek tedy není platný.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby závěr byl 0. Proto musí být aspoň v jednom řádku 1→0, mějme tedy například ℑ(O)={α,...} a ℑ(A)={α,...}:
• 

• b) Interpretace třetí premisy. Chceme, aby byla 1, proto nesmí být ani v jednom řádku 1→0. S ohledem na dosavadní interpretaci O proto musí být ℑ(Č)={α,...}:
• 
• c) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, proto nesmí být ani v jednom řádku 1→0; respektujeme při tom ale doposud získané dílčí interpretace:
• 

Vidíme, že daná druhá premisa není pravdivá. (Interpretace první premisy není potřeba, první premisa je nadbytečná, jak si lze ověřit; při navržené interpretaci je ovšem pravdivá.) Při revizi našeho postupu zjistíme, že ani neexistuje interpretace, při níž by všechny premisy byly pravdivé a závěr nikoli. Úsudek je tedy platný

• Formalizace:
• ∀x (R(x,j)→S(x,m))
• ∀x (K(x,l)→¬K(m,x))
• ∀x (S(p,x)→K(x,k))
• ---------------
• K(k,l)→¬R(p,j))

Nechť U={ι,κ,λ,μ,π} (tj. Jiří, Karel, Láďa, Milan, Petr), e(x)=κ, ℑ(j)=ι, ℑ(k)=κ, ℑ(l)=λ, ℑ(m)=μ.

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto musí být ℑ(K)={〈κ,λ〉,...} a ℑ(R)={〈π,ι〉,...}:
• 

• b) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, proto nesmí být ani v jednom řádku 1→0. Proto ℑ(S)={〈π,μ〉,...} (zatím se nezajímáme o jiné hodnoty x než π):
• 

• c) Interpretace třetí premisy. Chceme, aby byla 1, proto nesmí být ani v jednom řádku 1→0; proto ℑ(K)={〈μ,κ〉,〈κ,λ〉,...} (nezajímáme se o jiné hodnoty x než μ):
• 

• d) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, proto nesmí být ani v jednom řádku 1→0. Zatím se nezajímáme o jiné hodnoty x než κ; prověříme naši doposud získanou interpretaci ℑ(K)={〈μ,κ〉,〈κ,λ〉,...}:
• 

Vidíme, že při doposud získaných dílčích interpretacích není druhá premisa pravdivá. Revize postupu pak ukazuje, že ani nelze navrhnout interpretaci, při níž by všechny premisy byly pravdivé a závěr nikoli. Úsudek je tedy platný.

• Formalizace:
• ∀x (L(x) → ∀y (A(y) → D(x, y))
• ∀x (A(x) → ¬S(x))
• ------------------
• ∀x (S(x) → ∀ y(L(y) → ¬D(x, y))

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto musí být aspoň v jednom řádku 1→0. Uvažme, že to bude v řádku, kdy hodnotou x je např. α. Při takovémto ohodnocení x musí být pravdivou S(x), proto ℑ(S)={α,...}. Při takovémto ohodnocení x musí být nepravdivou otevřená formule ∀y (L(y)→D(x,y)), tj. musí být např. ℑ(L)={β,...}, ℑ(D)={〈α,β〉,...}:
• 

• b) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, přičemž doposud získaná interpretace nás nutí k  ℑ(A) ={α}:
• 

• c) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, ale přitom musíme zohlednit doposud získané dílčí interpretace, jež zatím vedou k tomuto:
• 

Po inspekci vidíme, že je možno naši interpretaci zúplnit tak, aby i tato premisa byla pravdivá. Tím by při nepravdivosti závěru byly pravdivé všechny. Úsudek tedy není platný.

• ∀x (O(x) → ∃y (D(y) ∧ P(y, x))
• ∀x ¬P(a, x)
• -------------------
• ∀x (D(x) → ∃y (O(y) ∧ P(y, x))

• a) Interpretace závěru. Chceme, aby byl 0, proto musí být aspoň v jednom řádku 1→0. Uvažme, že to bude v řádku, kdy hodnotou x je např. α. Při takovémto ohodnocení x musí být pravdivou D(x), proto ℑ(D)={α,...}. Při takovémto ohodnocení x musí být nepravdivou otevřená formule ∃y (O(y)∧P(y,x)), přičemž my si vybereme tu interpretaci, kdy ℑ(O)=∅ (poněvadž první premisa bude pak pravdivá); ℑ(P) necháváme neurčenu:
• 

• b) Interpretace první premisy. Chceme, aby byla 1, ale přitom musíme zohlednit doposud získané dílčí interpretace, jež vedou k tomuto:
• 

c) Interpretace druhé premisy. Chceme, aby byla 1, přičemž doposud získaná interpretace nám nechává možnost, že ℑ(P)={〈α,α〉,〈α,β〉,〈α,γ〉,...}=∅, takže druhá premisa je skutečně pravdivá:



Dosavadní interpretaci lze několika způsoby zúplnit. Takže jsme našli množinu interpretací, při nichž je závěr nepravdivý a všechny premisy pravdivé. Úsudek tedy není platný

• úsudek není platný
•