Následující výroky formalizujte prostředky PL, takto získané formule negujte a tyto negované formule transformujte na formule ekvivalentní, které pak vyjádřete slovně.
Všechny moderní vlaky jsou rychlé.
Někteří moudří lidé nejsou vychytralí.
Následující výroky formalizujte prostředky PL, takto získané formule negujte a tyto negované formule transformujte na formule ekvivalentní, které pak vyjádřete slovně. Při ekvivalentních transformacích se snažte o to, aby se symboly negace vyskytovaly nanejvýše před atomickými (pod)formulemi.
Některé pomalované sedačky nejsou laciné.
Některé pomalované sedačky nejsou laciné.
Formálně:
∃x((P(x) ∧ S(x) ∧ ¬L(x))
Negace:
¬∃x((P(x) ∧ S(x) ∧ ¬L(x)))
Ekvivalenty negace:
↔ ∀x¬((P(x) ∧ S(x) ∧ ¬L(x))) ...DM zákon
↔ ∀x(¬(P(x) ∧ S(x) ∨ ¬¬L(x))) ...tautologie VL
↔ ∀x(¬(P(x) ∧ S(x) ∨ L(x))) ...tautologie VL
↔ ∀x((P(x) ∧ S(x)) → L(x))) ...tautologie VL
Tedy „Všechny pomalované sedačky jsou laciné“.
Některá přirozená čísla jsou sudá.
Některá přirozená čísla jsou sudá.
Formálně:
∃x((P(x) ∧ C(x) ∧ S(x))
Negace:
¬∃x((P(x) ∧ C(x) ∧ S(x))
Ekvivalenty negace:
↔ ∀x¬((P(x) ∧ C(x) ∧ S(x)) DM zákon
↔ ∀x(¬(P(x) ∧ C(x) ∨ ¬S(x)) tautologie VL
↔ ∀x((P(x) ∧ C(x)) → ¬S(x)) tautologie VL
Slovně „Žádné přirozené číslo není sudé“.
Některá prvočísla jsou dělitelná dvěma a pěti.
Některá prvočísla jsou dělitelná dvěma a pěti.
Formálně:
∃x(P(x) ∧ (D(x, 2 ∧ D(x, 5)))
Negace:
¬∃x(P(x) ∧ (D(x, 2 ∧ D(x, 5)))
Ekvivalenty negace:
↔ ∀x¬(P(x) ∧ (D(x, 2 ∧ D(x, 5))) DM zákon
↔ ∀x(¬P(x) ∨ ¬(D(x, 2 ∧ D(x, 5))) tautologie VL
↔ ∀x(P(x) → ¬(D(x, 2 ∧ D(x, 5))) tautologie VL
Tedy „Žádná prvočísla nejsou dělitelná dvěma a pěti“.
Nikdo, kdo je soudný, není ukvapený nebo věrolomný.
Nikdo, kdo je soudný, není ukvapený nebo věrolomný.
Formálně:
∀x(S(x) → ¬(U(x) ∨ V (x)))
Negace:
¬∀x(S(x) → ¬(U(x) ∨ V (x)))
Ekvivalenty negace:
↔ ∃x¬(S(x) → ¬(U(x) ∨ V (x))) DM zákon
↔ ∃x(S(x) ∧ ¬¬(U(x) ∨ V (x))) tautologie VL
↔ ∃x(S(x) ∧ (U(x) ∨ V (x))) tautologie VL
Slovně „Někdo soudný je ukvapený nebo věrolomný“.
Všichni přítomní jsou starší než někteří členové klubu.
Všichni přítomní jsou starší než někteří členové klubu.
Formálně:
∀x(P(x) → ∃y(K(y) ∧ S(x, y)))
Negace:
¬∀x(P(x) → ∃y(K(y) ∧ S(x, y)))
Ekvivalenty negace:
↔ ∃x¬(P(x) → ∃y(K(y) ∧ S(x, y))) DM zákon
↔ ∃x(P(x) ∧ ¬∃y(K(y) ∧ S(x, y))) tautologie VL
↔ ∃x(P(x) ∧ ∀y¬(K(y) ∧ S(x, y))) DM zákon
↔ ∃x(P(x) ∧ ∀y(K(y) → ¬S(x, y))) tautologie VL
Slovně „Existují přítomní, kteří nejsou starší než jacíkoli členové klubu“.
Následující formule nejprve negujte a poté proveďte ekvivalentní transformace tak, aby se symboly negace vyskytovaly jen před atomickými (pod)formulemi.
∃x∀y(P(x) ∧ Q(x, y))
Následující formule negujte a získané formule transformujte na formule ekvivalentní. Při ekvivalentních transformacích usilujte o to, aby se symboly negace vyskytovaly nanejvýše před atomickými (pod)formulemi a to v co nejmenším počtu.
∀x(P(x) → ∀yR(x, y))
∀x(P(x) → ∀yR(x, y))
∃x(P(x) ∧ ∃y¬R(x, y))
∃x∀y(R(x, y) ∧ ¬R(x, x))
∃x∀y(R(x, y) ∧ ¬R(x, x))
∀x∃y(R(x, y) → R(x, x))
∀x∀y(¬R(x, y) → ¬R(x, y)))
∀x∀y(¬R(x, y) → ¬R(x, y)))
∃x∃y(¬R(x, y) ∧ R(x, y))
∀x(P(x) → ∃y(Q(y) ∧ R(x, y)))
∀x(P(x) → ∃y(Q(y) ∧ R(x, y)))
∃x(P(x) ∧ ∀y(Q(y) → ¬R(x, y)))
∀x(P(x) → ∀y(Q(y) → (R(x, y) ∧ S(x, y)))
∀x(P(x) → ∀y(Q(y) → (R(x, y) ∧ S(x, y)))
∃x(P(x) ∧ ∃y(Q(y) ∧ (R(x, y) → ¬S(x, y))))
∀x∃y(∃z(P(y) ∧ R(x, y, z) ∨ S(x, y))
∀x∃y(∃z(P(y) ∧ R(x, y, z) ∨ S(x, y))
∃x∀y(∀z(P(y) → ¬R(x, y, z) ∧ ¬S(x, y))
∃x(S(x) ∧ ∃y((P(y) ∧ Q(y) ∧ ¬R(x, y))
∃x(S(x) ∧ ∃y((P(y) ∧ Q(y) ∧ ¬R(x, y))
∀x(S(x) → ∀y((P(y) ∧ Q(y)) → R(x, y)))
∀x(P(x) → ∃y((Q(y) ∧ R(x, y) ∧ S(x, y)))
∀x(P(x) → ∃y((Q(y) ∧ R(x, y) ∧ S(x, y)))
∃x(P(x) ∧ ∀y((Q(y) ∧ R(x, y)) → ¬S(x, y)))
∃x(P(x) ∧ R(a, x) ∨ ∃y(R(y, b ∧ ¬R(y))
∃x(P(x) ∧ R(a, x) ∨ ∃y(R(y, b ∧ ¬R(y))
∀x(P(x) → ¬R(a, x) ∧ ∀y(R(y, b) → R(y))
∀x((P(x) ∧ Q(x) ∨ ∃y∃z(P(z ∧ R(x, y, z)))
∀x((P(x) ∧ Q(x) ∨ ∃y∃z(P(z ∧ R(x, y, z)))
∃x((P(x) → ¬Q(x) ∧ ∀y∀z(P(z) → ¬R(x, y, z)))
Z níže nabízených možností určete právě ten jediný výrok, který je negací daného výroku. K nalezení řešení použijte formální přepis a ekvivalentní transformace.
Nikdo, kdo je uspěchaný, není šťastný nebo klidný.
predikatova logika
V tomto cvičebním okruhu navážeme na procvičování negací výroků logického čtverce. Nyní však k explicitnímu a tedy kontrolovatelnému provedení
úkolu využijeme PL. Daný výrok formalizujeme, získanou formuli A negujeme na ¬A a provedeme ekvivalentní transformace, výsledkem bude formule B, přičemž se budeme snažit, aby se symboly negace vyskytovaly v B nejvýše před atomickými podformulemi; výslednou formuli B vyjádříme slovně.