-
Následující výrok formalizujte prostředky PL a získanou formuli podrobte ekvivalentním transformacím tak, aby se symboly negace vyskytovaly jen před atomickými (pod)formulemi. Výslednou formuli využijte k sestavení ekvivalentu daného výroku.
Každý člověk je smrtelný.
-
Některé nemoci jsou léčitelné.
-
Žádný tyran není spravedlivý.
-
Někteří cyklisté nejsou ukáznění
-
Není pravda, že všechna prvočísla jsou lichá.
-
Není pravda, že některé kočky štěkají.
-
Není pravda, že žádný kaskadér není akrobat.
-
Není pravda, že některé muchomůrky nejsou jedovaté
-
Ne všechny banány dozrávají.
-
Není všechno zlato, co se třpytí.
-
Nechť binární predikátový symbol R znamená binární predikát „x rozumí y“. Daný výrok formalizujte prostředky PL, načež získanou formuli transformujte pomocí De Morganových zákonů a vyjádřete ji slovně.
Každý něčemu rozumí.
-
-
-
-
-
-
-
-
Z níže uvedených možností určete všechny ty výroky, které jsou ekvivalentní výroku danému. Pro pomoc či ověření daný výrok formalizujte a získanou formuli převeďte na jí ekvivalentní formuli, jejíž slovní vyjádření hledejte mezi nabízenými možnostmi.
Každé prase létá.
a) Neexistuje prase, které nelétá.
b) Není pravda, že některé prase nelétá.
c) Není pravda, že neplatí, že každé prase létá.
d) Ne vše, co létá, je prase.
e) Žádné prase nelétá.
- Ekvivalentní a) i b), protože ∀x (P(x)→L(x)) ↔ ¬∃x (P(x)∧¬L(x)).
- Ekvivalentní je také c), protože ∀x (P(x)→L(x)) ↔ ¬¬∀x (P(x)→L(x)).
-
Není pravda, že některé pendlovky nejsou kukačky.
a) Některé pendlovky nejsou kukačky.
b) Všechny pendlovky jsou kukačky.
c) Některé pendlovky jsou kukačky.
d) Některé kukačky nejsou pendlovky.
e) Co pendlovky, to kukačky.
Ekvivalentní jsou b) a e), protože ¬∃x(P(x) ∧ ¬K(x)) ↔ ∀x¬(P(x) ∧ ¬K(x)) ↔ ∀x(¬P(x) ∨ ¬¬K(x)) ↔ ∀x(¬P(x) ∨ K(x)) ↔ ∀x(P(x) → K(x)).
-
Není pravda, že žádní řidiči nejsou závodníci.
a) Někteří závodníci jsou řidiči.
b) Někteří závodníci nejsou řidiči.
c) Žádní řidiči nejsou závodníci.
d) Někteří řidiči jsou závodníci.
e) Někteří řidiči nejsou závodníci.
- Ekvivalentní je d), protože ¬∀x(R(x) → ¬Z(x)) ↔ ∃x¬(R(x) → ¬Z(x)) ↔ ∃x(R(x) ∧ ¬¬Z(x)) ↔ ∃x(R(x) ∧ Z(x)).
- Ekvivalentní je i a), protože ∃x(R(x) ∧ Z(x)) ↔ ∃x(Z(x) ∧ R(x)).
-
Někteří medvědi jsou fikaní.
a) Neexistuje medvěd, který by nebyl fikaný.
b) Existují fikaní medvědi.
c) Něco fikaného jsou medvědi
d) Není pravda, že všichni medvědi jsou nefikaní.
e) Ne všichni medvědi jsou fikaní.
- Ekvivalentní je bezpochyby b), protože ∃x(M(x) ∧ F(x)) ↔ ∃x(M(x) ∧ F(x)).
- Dále je však ekvivalentní d), protože ∃x(M(x) ∧ F(x)) ↔ ¬∀x(M(x) → ¬F(x)).
- Ovšem ekvivalentní je samozřejmě také c), protože ∃x(M(x) ∧ F(x)) ↔ ∃x(F(x) ∧ M(x)).
-
Není pravda, že každý osel je vědec.
a) Žádný osel není vědec.
b) Některý osel není vědec.
c) Jsou oslové, kteří nejsou vědci.
d) Každý osel není vědec.
e) Není pravda, že neexistuje osel, který není vědec.
- Ekvivalentní jsou b) i c), neboť ¬∀x(O(x) → V (x)) ↔ ∃x(O(x) ∧ ¬V (x)).
- Ekvivalentní je rovněž e), protože ¬∀x(O(x) → V (x)) ↔ ¬¬∃x(O(x) ∧ ¬V (x)).
-
Není pravda, že některé včelky jsou líné.
a) Některé včelky nejsou líné.
b) Každá včelka není líná.
c) Všechny včelky nejsou pilné.
d) Neexistují včelky, které jsou líné.
e) Žádné včelky nejsou líné.
- Ekvivalentní je samozřejmě d), protože d) a věta daná mají stejnou formalizaci ¬∃x(V (x) ∧ L(x)).
- Ekvivalentní je jistě i e), protože ¬∃x(V (x) ∧ L(x)) ↔ ∀x(V (x) → ¬L(x)).
-
Každý slon je plavec.
a) Neexistuje slon, který není plavec.
b) Každý plavec je slon.
c) Není pravda, že neplatí, že každý slon je plavec.
d) Není pravda, že některý slon není plavec.
e) Žádný slon není plavec.
- Ekvivalentní jsou a) i d), protože ∀x(S(x) → P(x)) ↔ ¬∃x(S(x) ∧ ¬P(x)).
- Ekvivalentní je také c), neboť ∀x(S(x) → P(x)) ↔ ¬¬∀x(S(x) → P(x)).
-
Není pravda, že někteří účastníci nejsou přímí.
a) Každý účastník je přímý.
b) Někteří účastníci jsou přímí.
c) Není žádný účastník, který není přímý.
d) Existuje účastník, který je přímý.
e) Ne každý účastník je nepřímý.
- Ekvivalentní je pochopitelně c), protože ¬∃x((x) ∧ ¬P(x)) ↔ ¬∃x((x) ∧ ¬P(x)).
- Ekvivalentní je také a), protože ¬∃x((x) ∧ ¬P(x)) ↔ ∀x((x) → P(x)).
-
Není pravda, že žádný krajíc není namazaný.
a) Každý krajíc je namazaný.
b) Některý krajíc je namazaný.
c) Není pravda, že žádný namazaný není krajíc.
d) Existuje krajíc, který je namazaný.
e) Každý krajíc není namazaný.
- Ekvivalentní jsou b) i d), protože ¬∀x(K(x) → ¬N(x)) ↔ ∃x(K(x) ∧ N(x)).
- Ekvivalentní je ovšem také c), neboť ¬∀x(K(x) → ¬N(x)) ↔ ¬∀x(N(x) → ¬K(x)).
-
Některé balíky jsou expresní.
a) Neexistuje balík, který by nebyl expresní.
b) Existují expresní balíky.
c) Něco, co je expresní, jsou balíky.
d) Ne všechny balíky jsou expresní.
e) Není pravda, že všechny balíky jsou expresní.
Ekvivalentní jsou b) i c), protože ∃x(B(x) ∧ E(x)) ↔ ∃x(E(x) ∧ B(x)).
-
Není pravda, že každá žirafa je pyšná.
a) Žádná žirafa není pyšná.
b) Některá žirafa není pyšná.
c) Ne všechny žirafy jsou pyšné.
d) Není pravda, že neexistuje žirafa, která není pyšná.
e) Jsou žirafy, které nejsou pyšné.
- Ekvivalentní je c), protože ¬∀x((x) → P(x)) ↔ ¬∀x((x) → P(x)).
- Ekvivalentní jsou dále b) i e), neboť ¬∀x((x) → P(x)) ↔ ∃x((x) ∧ ¬P(x)).
- Ekvivalentní je také d), protože ¬∀x((x) → P(x)) ↔ ∃x((x) ∧ ¬P(x)) ↔ ¬¬∃x((x) ∧ ¬P(x)).
-
Není pravda, že některé šifry jsou prolomitelné.
a) Některé šifry nejsou neprolomitelné.
b) Každá šifra je prolomitelná.
c) Všechny šifry jsou neprolomitelné.
d) Neexistují šifry, které jsou prolomitelné.
e) Ne všechny šifry jsou neprolomitelné.
- Ekvivalentní je d), protože ¬∃x(P(x) ∧ O(x)) ↔ ¬∃x(P(x) ∧ O(x)).
- Ekvivalentní je i c), protože ¬∃x(P(x) ∧ O(x)) ↔ ∃x¬(P(x) ∧ O(x)) ↔ ∃x(¬P(x) ∨ ¬O(x)) ↔ ∃x(P(x) → ¬O(x)) a „být neprolomitelný“ je významově vlastně totéž, co „nebýt prolomitelný“.
|
|
