10 Ověřování platnosti úsudků Vennovými diagramy

Pro ověření platnosti úsudků pomocí PL máme k dispozici několik prostředků. Podobně jako ve  VL můžeme kromě syntaktických prostředků důkazu využít metodu protipříkladu, jež uplatňuje sémantickou interpretaci formulí. Pro určitou skupinu úsudků, mezi něž patří zejména kategorické sylogismy, se však s oblibou využívají Vennovy diagramy. (Existuje i metoda využívající jiné diagramy, a také např. Genslerova metoda, která diagramy nevyužívá.

• ^{Každý kategorický sylogismus má tři termíny, tedy tři predikáty, jež jsou predikovatelné individuím. Predikáty interpretujeme jako množiny a množiny můžeme reprezentovat jako kruhy. Abychom dostali všechny možné kombinace predikací, naše tři kruhy zastupující dané predikáty S, P a M se budou protínat následovně}:
• 
• ^{univerzum je danými predikáty rozčleněno tak, že může existovat například individuum, které je S, P i M (náleží tedy do množiny, která je průnikem S, P a M), anebo může být třeba S a P, ale ne M, atd. Celkem je tu 23, tj. 8, různých základních podmnožin, jichž může být nějaké individuum prvkem.}
• Každou z  premis kategorického sylogismu vyjádříme graficky podle toho, o jaký druh výroku jde z hlediska logického čtverce. Uplatňujeme přitom čtyři následující pravidla:

1) zakreslujeme pouze premisy, nikoliv závěr

• 2) Každá premisa kategorického sylogismu zahrnuje právě dva predikáty a my při grafickém znázorňování nebereme ohled na grafické vyjádření třetího predikátu přítomného v sylogismu. Na příkladu vyznačení premisy „Všechna S jsou M“ si všimněme, že nebereme ohled na množinu P:
• 
• ^{Řečeno jinak, při šrafování například „Všechna S jsou M“ šrafujeme celý půlměsíc v S (včetně části průniku S a M). (Existuje ovšem výjimka, kdy ohled na třetí predikát brát musíme – totiž když by snad mělo být individuum zaznačeno pomocí křížku tam, kde podle jiné premisy žádné individuum není a tak je daná část grafu již vyšrafována.})

• 3) Protože šrafování dvou obecných premis by splývalo, pro každou z nich používáme jiný směr šrafování, totiž /// a \\\. Zde je příklad:
• 

• 4) Pokud máme zaznačit křížek do určité části půlměsíce či rybičky, jsou dvě možnosti, tj. dva obrazce, do nichž křížek zanést. Křížek však kreslíme do obou obrazců, načež tyto dva křížky spojíme čarou, abychom při vyhodnocování úsudku věděli, že v jednom obrazci se ono individuum ve skutečnosti nacházet nemusí.
•  
• ^{(Alternativní metodou značení je kreslení křížku na hraniční křivku, která dělí půlměsíc či rybičku na části, ale tato metoda značení není vždy výhodná.) Pravý obrázek nám ukazuje případ, kdy nižší premisa je na rozdíl od vyšší obecná, takže křížek může být přešrafován, a tedy přestane mít platnost, protože obecná premisa určila, že tam individuum přece jenom není. (Kdybychom přijali pravidlo, že obecná premisa musí být značena dříve, než částečná, mohli bychom se přešrafovávání vyhnout. V našem obrázku by tedy křížek byl pouze v srdíčku.)}

• 

• ANO
• V příkladu nalevo determinovaly premisy kromě jiného to, že v průniku S a P je nějaké individuum; a právě toto vyslovuje i závěr – úsudek je tedy platný. V příkladu napravo je tomu podobně, premisy dohromady sdělují, že ve vyšrafovaných částech univerza nic není; do toho spadá i to, co říká závěr – úsudek je tedy platný. Vidíme tedy, že závěr platného úsudku vyslovuje to, co už je nějak obsaženo v premisách.

⇾ Úsudek je platný, pokud se to, co získáme grafi ckým znázorněním premis, zcela shoduje s tím, co bychom získali grafickým znázorněním závěru. Premisy tedy mají plně determinovat ten stav, který říká závěr.

• NE
• V příkladu nalevo premisy determinovaly, že existuje S, které je P; závěr ale tvrdí, že všechna S jsou P. V příkladu napravo premisy determinovaly, že všechna S jsou P; závěr ale tvrdí, že existuje nějaké S, které je P.

⇾ V případě neplatných úsudků se může stát typicky to, že závěr jde jaksi mimo to, co řekly premisy. Anebo se může stát to, že závěr si dovoluje tvrdit něco, na co není z hlediska toho, co premisy řekly, nárok.

• a) takové sylogismy, které by byly platné, kdyby měly adekvátnější závěr;
• b) takové sylogismy, které nemohou mít z premis vyplývající závěr, jenž by byl kategorickým výrokem;
• speciální podskupinu tvoří takové sylogismy, jejichž platnost je podmíněna neprázdností příslušného termínu.

pokud lze závěr zaznačit (protože premisy ‚nechaly volné místo‘), anebo je stav vyjádřený negovaným závěrem díky premisám dokonce již zaznačen, úsudek platný není (znamenalo by to totiž, že premisy mohou být pravdivé, ale závěr nikoli.) Příklady:

 


V příkladu nalevo/nahoře negaci závěru, totiž „Některá S nejsou P“, nelze zaznačit (křížek bychom museli kreslit tam, kde podle premis žádné individuum není), úsudek je tedy platný. V příkladu napravo negaci závěru, tj. „Žádná S nejsou P“ lze zaznačit (≡), úsudek tedy platný není. Někdy bývá způsob vyhodnocování se šrafováním negace závěru podáván jako (jediná) metoda vyhodnocení sylogismů.

• V případě, že úsudek obsahuje více jak tři monadické predikáty, je zapotřebí takový Vennův diagram, který vyjádří nejen všechny zúčastněné predikáty, ale také všechny příslušné množinové vztahy. Způsob přizpůsobení dosavadních diagramů si ilustrujeme na příkladu vyhodnocení následující platné úsudkové formy:
• 

  

Úsudek je platný, závěr vyplývá z premis (jedná se o případ modu barbara). Není možné, aby při pravdivosti premis existovala velryba, která by nebyla obratlovcem.

•   
• Tento úsudek (případ modu barbari) není platný, protože pokud je množina jednorožců prázdná, závěr je nepravdivý, avšak obě premisy zároveň pravdivé. Závěr by vyplýval z premis jedině kdyby bylo zaručeno, že množina jednorožců je vždy neprázdná, čili kdyby byla přidána premisa „Existují jednorožci“.

  

Úsudek není platný. Závěr z premis nevyplývá – někteří vysokoškoláci přece mohou mít maturitu odjinud než z gymnázia.

• 
• 

Úsudek je platný, závěr vyplývá z premis (případ modu celarent).

• 
• 

Úsudek není platný (jde o případ modu celaront). Úsudek by byl platný, kdyby bylo zaručeno, že vždy budou existovat nějací zatčení, tj. kdyby byla přidána premisa „Existují zatčení“.

• 
• 
• Úsudek není platný, závěr nevyplývá z premis – nějaký žonglér může být třeba malířem, což je přece umělec.

Úsudek je platný, závěr vyplývá z premis (případ modu darii)

Úsudek je platný, závěr vyplývá z premis (případ modu ferio).

• 
• 

Úsudek není platný, závěr nevyplývá z premis (ze dvou částečných premis nic neplyne). Není totiž zaručeno, že by existovali nějací studenti, kteří by byli vysokoškoláci (srov. náhodnost výskytu nějakého individua v srdíčku Vennova diagramu vyjadřujícího tento úsudek).

• 
• 
• Úsudek je platný, závěr vyplývá z premis (případ modu baroco).

• 
• 

Úsudek je platný, závěr vyplývá z premis (případ modu cesare)

• 
• 
• Úsudek není platný, závěr nevyplývá z premis – je možné, že nějaké nemluvně je zločinec.

• 
• 

Úsudek není platný (případ modu cesaro). Byl by platný, kdyby bylo zaručeno, že vždy existují nějací archeologové, tj. kdyby byla přidána patřičná premisa.

• 
• 
• Úsudek je platný, závěr vyplývá z premis (případ modu camestres)

• 
• 

Úsudek není platný. Premisy nezaručují existenci louhů, které by byly kyselinami.

• 
• 

Úsudek není platný (případ modu camestros). Úsudek by byl platný, pokud by bylo zaručeno, že vždy existuje něco, co je láska.

• 
• 
• Úsudek je platný (případ modu festino).

• 
• 

Úsudek není platný, závěr nevyplývá z premis – vyplývá jenom, že něco silného je člověkem.

• 
• 

Úsudek je platný (případ modu bocardo).

• 
• 
• Úsudek není platný (případ modu darapti). Muselo by být zaručeno, že vždy existují nějaká kouzla.

• 
• 
• Úsudek není platný – může existovat herec, který je Indián.

• 
• 
• Úsudek je platný (případ modu datisi).

• 
• 

Úsudek je platný (případ modu disamis).

• 
• 

Úsudek není platný – je možné, že existují býložravci, kteří nejsou daňci

• 
• 

Úsudek není platný (případ modu felapton). Muselo by totiž být zaručeno, že vždy existují Marťané, následně by byla neprázdná i množina vesmířanů.

• 
• 
• Úsudek je platný (případ modu ferison).

• 
• 

Úsudek není platný – žádný živočich nemusí být kosmonautem

• 
• 
• Úsudek není platný (případ modu bamalip). Byl by platný, kdyby bylo zaručeno, že vždy existují nějací nadšenci.

• 
• 
• Úsudek je platný (případ modu calemes).

• 
• 
• Úsudek není platný, závěr nevyplývá z premis – vyplývá věta, že někteří rozjaření nejsou pesimisté.

• 
• 

Úsudek není platný (případ modu calemos). Byl by platný, kdyby bylo zaručeno, že vždy existují nějací normální

• 
• 

Úsudek je platný (případ modu dimatis)

• 
• 

Úsudek je platný (případ modu barbara).

Úsudek není platný (případ modu fesapo). Byl by platný, kdyby bylo zaručeno, že vždy existují nějací hudebníci (pak by existovali i umělci).

Úsudek je platný (případ modu fresison)