-
Následující věty přirozeného jazyka formalizujte prostředky PL:
Andrea má ráda pouze lékaře.
Andrea má ráda (všechny) lékaře.
- ∀x (R(a,x)→L(x))
- Neboli pro všechna x platí, že pokud má Andrea to x ráda, tak x je lékař.
- ∀x (L(x)→R(a,x))
- Neboli pro všechna x platí, je-li to x lékař, tak Andrea má ráda to x.
-
Andrea neobdivuje nikoho, kdo není logik.
Neexistuje nikdo, koho by Andrea obdivovala a nebyl logik.
- ∀x (¬L(x)→¬O(a,x))
- Neboli pro všechna x platí, že pokud x není logik, tak ho Andrea neobdivuje. Ekvivalentně díky transpozici implikace ∀x (O(a,x)→L(x)) = Andrea obdivuje pouze logiky.
- ¬∃x (O(a,x)∧¬L(x))
- Neboli není pravda, že existuje někdo takový, koho Andrea obdivuje a není logikem.
- Této větě je ekvivalentní věta Každý, koho Andrea obdivuje, je logik. tedy Andrea obdivuje pouze logiky.
-
Každý muž má rád nějaké zvíře.
- ∀x (M(x)→∃y (Z(y)∧R(x,y)))
- Neboli pro všechna x platí, že pokud x je muž, tak existuje nějaké y takové, že y je zvíře a x má rád to y. Kvantifikace existenčním kvantifikátorem se vztahuje až k předmětu toho, co x, který je mužem, dělá, proto tento existenční kvantifikátor vkládáme až za znak implikace (čili celou formuli nezapisujeme jako ∀x∃y (M(x)→(Z(y)∧R(x,y))).
-
Kdo se bojí, nesmí do lesa.
- ∀x ((B(x)→∀y (L(y)→¬S(x,y)))
- Neboli pro všechna x, jestliže x se bojí, tak platí pro každé y, které je lesem, že x do toho y nesmí.
-
Někteří lidé nemají nikoho rádi.
- ∃x (L(x)∧∀y (L(y)→¬R(x,y)))
- Formální zápis této věty by mohl vyvolat určité pochyby, avšak výraz „nikoho“ (na rozdíl od „nic“) se dá považovat za gramatický signál, že jde opět o lidi, v analýze proto píšeme L(y); takovouto analýzu však zde uvádíme spíše pro ukázku možného cizelování logických analýz výrazů přirozeného jazyka.
-
Milan nekamarádí s nikým, kdo kamarádí s Láďou.
- ∀x (K(x,l)→¬K(m,x))
- Neboli pro všechna x platí, že kamarádí-li x s Láďou, tak Milan s tím x nekamarádí. Nutnou podmínkou je zde to, že Milan se nekamarádí (s někým), proto je tato podmínka vyjádřena v konsekventu.
-
Josef je strýcem někoho, kdo je manželkou Petra.
- ∃x (S(j,x)∧M(x,p))
- Neboli existuje x takové, že Josef je strýcem toho x a to x je manželkou Petra.
-
Každý člověk je mladší než jeho rodiče.
- ∀x (Č(x)→∀y (R(y,x)→M(x,y)))
- Neboli pro všechna x platí, že je-li x člověkem, tak pro všechna y platí, že je-li y rodičem x, tak x je mladší než y
-
Každý člověk má otce a matku.
- ∀x (Č(x)→(O(x)∧M(x)))
- Implicitně se však tou větou rozumí, že každý člověk má nějakého otce a nějakou matku, takže by tak byla na místě formule ∀x (Č(x)→∃y∃z (O(y,x)∧M(z,x))) (a taky by mělo být dodáno, že y≠z; podobně hned v následujícím příkladu).
-
Každý, kdo má otce, má i matku.
- ∀x (∃y O(y,x)→∃z M(z,x))
- Z už výše řečených důvodů by zřejmě byla vhodná tato analýza, neboť je v ní explicitně předvedena existence obou rodičů.
-
Každý obyvatel vesnice má příbuzného staršího než on.
- ∀x (∃y (V(y)∧O(x,y))→∃z (P(z,x)∧S(z,x)))
- Neboli pro všechna x, pokud existuje y takové, že y je vesnicí a x je obyvatelem y, tak existuje z takový, že z je příbuzný x a ten z je starší než x.
-
Kdo seje vítr, sklízí bouři.
- ∀x (∃y (V(y)∧S(x,y))→∃z (B(z)∧Sʹ(x,z)))
- Čili pro všechna x platí, že pokud existuje nějaké y, které je větrem a ten x seje to y, tak existuje nějaké z, které je bouří a x sklízí to z. Existenční kvantifikátory jsou zde proto, že x neseje každý vítr a nesklízí každou bouři.
-
1) Každý něčemu rozumí.
2) Všemu někdo nerozumí.
3) Každý něčemu nerozumí.
4) Všemu někdo rozumí.
- 1) ∀x∃y R(x,y)
- 2) ∀y∃x ¬R(x,y)
- 3) ∀x∃y ¬R(x,y)
- 4) ∀y∃x R(x,y)
-
5) Každý rozumí všemu.
6) Něčemu někdo nerozumí.
7) Nikdo nerozumí všemu.
8) Něčemu někdo rozumí.
- 5) ∀x∀y R(x,y)
- 6) ∃y∃x ¬R(x,y)
- 7) ∀x∀y ¬R(x,y)
- 8) ∃y∃x R(x,y)
-
9) Někdo rozumí něčemu.
10) Všemu nikdo nerozumí.
11) Někdo něčemu nerozumí.
12) Všemu každý rozumí.
- 9) ∃x∃y R(x,y)
- 10) ∀y∀x ¬R(x,y)
- 11) ∃x∃y ¬R(x,y)
- 12) ∀y∀x R(x,y)
-
13) Někdo rozumí všemu.
14) Něčemu nikdo nerozumí.
15) Někdo nerozumí ničemu.
16) Něčemu rozumí každý.
- 13) ∃x∀y R(x,y)
- 14) ∃y∀x ¬R(x,y)
- 15) ∃x∀y ¬R(x,y)
- 16) ∃y∀x R(x,y)
-
1) Někdo půjčuje Báře Cyrila.
2) Adam půjčuje někomu Cyrila.
3) Adam někomu něco půjčuje.
4) Někdo někomu něco půjčuje.
5) Adam každému něco půjčuje
-
- nabízená řešení nejsou jediná možná!
-
6) Někdo někomu všechno půjčuje.
7) Každý někomu něco půjčuje.
8) Někdo každému všechno půjčuje.
9) Někdo nikomu nic nepůjčuje.
10) Nikdo nikomu nic nepůjčuje.
-
Všichni muži nejsou opilci.
¬∀x(M(x) → O(x))
-
Adéla obdivuje všechny umělce.
∀x(U(x) → O(a, x))
-
3) Adam má rád pouze intelektuály.
4) Adam nemá rád nikoho, kdo není intelektuál.
5) Neexistuje nikdo takový, že ho Adam má rád a není to intelektuál.
- 3) ∀x (R(a,x)→I(x))
- Pro všechna x platí, že jestliže Adam má rád x, tak je x intelektuál.
- 4) ∀x (¬I(x)→¬R(a,x))
- Pro všechna x platí, že není-li x intelektuálem, pak Adam ho nemá rád. Větě dané je ekvivalentní- každý, koho má Adam rád, je intelektuálem. Srov. dále.
- 5) ¬∃x (R(a,x)∧¬I(x))
- Větě dané je ekvivalentní každý, koho má Adam rád, je intelektuálem, srov. 4)
-
Misantrop každého nenávidí
∀x(M(x) → ∀yN(x, y))
-
Včely sbírají med.
- ∀x(V (x) → ∃y(M(y) ∧ S(x, y)))
- Neboli pro všechna x platí, že je-li x včelou, tak existuje nějaké y, které je medem (x totiž nesbírá veškerý med) a x sbírá to y.
-
Někteří studenti nemají hudební nadání.
- ∃x(S(x) ∧ ∃y((H(y) ∧ N(y)) ∧ ¬M(x, y)))
- Neboli existuje nějaké x, které je studentem a existuje nějaké y, které je hudební a je nadáním a x nemá to y. (Je otázkou, zda „mít (něco)“ je zde třeba chápat jako soběstačný predikát.)
-
Pes je věrný přítel člověka.
- ∀x (P(x)→∀y (Č(y)→(V(x,y)∧Pʹ(x,y)))
- Neboli pro všechna x platí, že je-li x psem, tak pro každé y, je-li y člověkem, tak to x je věrné tomu y a je přítelem toho y.
-
Někdo má rád každého, ale ne sám sebe.
- ∃x∀y (R(x,y)∧¬R(x,x))
- Stylisticky řečeno jinak někdo má rád všechny ostatní
-
Každé číslo dělitelné 8 je dělitelné 4.
- ∀x (Č(x)→(D(x,8)→D(x,4)))
- Neboli pro všechna x platí, že je-li x číslem, tak pokud to x je dělitelné osmi, tak je to x dělitelné čtyřmi. Správná analýza tedy odlišuje predikát „(být) dělitelný (čím)“ od čísel, jimiž je nějaké x dělitelné; predikát „(být) dělitelný (čím)“ je totiž vyjádřen tranzitivním slovesem.
-
Vše, co se děje, má svou příčinu.
- ∀x (D(x)→∃y P(y,x))
- Pro všechna x platí, že pokud se x děje, tak existuje nějaké y, které je příčinou x (slovo „mít“ zde totiž nechápeme jako svébytný predikát).
-
Žádný učený z nebe nespadl.
- ∀x (Uʹ(x)→∃y (N(y)∧¬S(x,y)))
- Neboli pro všechna x platí, že pokud je x učené, tak existuje nějaké y, které je nebem a x nespadl z toho y.
-
Kdo nic nedělá, nic nepokazí.
- ∀x∀y (¬D(x,y)→¬P(x,y))
- Neboli pro všechna x a všechna y platí, že pokud x nedělá to y, tak x nepokazí to y.
-
Kdo jinému jámu kopá, sám do ní padá.
- ∀x∃y (∃z (J(y)∧K(x,y,z))→P(x,y))
- Neboli pro všechna x platí, že existuje y takové, že pokud existuje z takové, že y je jáma a x kope to y tomu z, tak x padá do y.
-
Všichni přítomní jsou starší než někteří členové klubu.
- ∀x (P(x)→∃y∃z (K(y)∧Č(z,y)∧S(x,z)))
- Pro všechna x platí, že pokud x je přítomný, tak existují y a z taková, že y je klub a z je členem y a x jsou starší než ti (někteří) z.
-
Žádný dobrý učitel nikoho zbytečně nepotrestal.
- ∀x ((D(x)∧Uʹ(x))→¬∃y∃z (Z(z)∧P(x,y,z)))
- Čili pro všechna x platí, že pokud x je dobré a učitel, tak neexistuje y takové, že by existovalo z, které je způsob a x by potrestal y tím z.
-
Bohdan jde do kina pouze tehdy, pokud jeho žena není doma.
- ∃x ((K(x)∧P(b,x))↔∃y (Ž(y,b)∧¬D(y))
- Čili existuje x, které je kino a Bohdan jde do x, a to právě tehdy, když existuje y takové, že y je ženou Bohdana a to y není doma.
-
Všichni savci rodí živá mláďata.
- ∀x (S(x)→∃y ((Ž(y)∧M(y))∧R(x,y)))
- Pro všechna x platí, že jestliže x je savcem, tak existuje y, které je živým mládětem a x rodí to y. Analýza ∀x (S(x)→∀y ((Ž(y)∧M(y))→R(x,y))) by byla chybná proto, že jsou i taková živá mláďata, která nejsou rozena savci, ale třeba plazy (např. ještěrka živorodá); jedná se ovšem o mimologický důvod, z čistě logického hlediska daná věta připouští obě čtení.
-
Posláním mudrce je vytvářet řád.
- ∀x (M(x)→∃y ((Ř(y)∧V(x,y))∧P(x,y))))
- Pro všechna x platí, že je-li x mudrcem, tak existuje nějaké y, které je řádem a x vytváří y, a x má poslání vzhledem k y
-
Myslí dobře ten, kdo se k věcem dobře postaví.
- ∀x ([∃y V(y)∧∃z (D(z)∧P(x,y,z))]→[∃zʹ (D(zʹ)∧M(x,zʹ))])
- Pro všechna x platí, že pokud existuje y, které je věc, a zároveň existuje z takové, které je dobré, a x se postaví k tomu y způsobem z, tak existuje zʹ, které je dobré a x myslí to zʹ.
|
|