05. Logicky ctverec

  1. Aristotelská a posléze tradiční scholastická logika pracovala převážně jen s monadickými/binárními predikáty
    monadickými
  2. Jaká je fce logického čtverce?
    • - uspořádává čtyři druhy specifických výroků, tzv. kategorické výroky - soudy
    • - Tyto výroky jsou tvaru QAB, kde Q je klasický kvantifi kátor ∀ či ∃, v místě subjektu (připomeňme si S–P strukturu) se nachází monadický predikát A a v místě predikátu se nachází monadický predikát B.
  3. df neprázdnost termínu P
    existuje individuum, které má vlastnost označenou termínem-predikátem P.
  4. df kvantita a kvalita soudu
    • Kvantita soudu
    • • soud je obecný, pokud se v  něm přes individua kvantifikuje pomocí obecného kvantifikátoru
    • • soud je částečný, pokud se v něm přes individua kvantifikuje pomocí existenčního kvantifikátoru
    • Kvalita soudu
    • • soud je kladný, pokud se v něm nevyskytuje zápor (negace)
    • • soud je záporný, pokud se v něm vyskytuje zápor (negace)
  5. Vyjmenuj čtyři druhy kategorických výroků
    • Na základě možných distribucí kvality a kvantity vznikají celkem čtyři druhy výroků-soudů. Ty byly ve středověku reprezentovány písmeny a, e, i, o, přičemž
    • značí obecný kladný soud,
    • značí částečný kladný soud,
    • e značí obecný záporný soud,
    • o značí částečný záporný soud.
    • Písmena a a i pochází ze samohlásek latinského slova „affirmo“, tj. tvrdím; písmena e a o pochází ze
    • samohlásek latinského slova „nego“, tj. popírám.
    • S pomocí těchto písmen jsou druhy soudů formalizovatelné následujícím způsobem:
    • Image Upload 1
  6. Vyjádři čtyři druhy kategorických výroků tradiční logiky v PL, Boolově algebře a PL s omezenými kvantifikátory.
    Image Upload 2
  7. Parafráze formalizací kategorických výroků: a,e,i,o
    Image Upload 3
  8. Rozhodni u každého formalizovanému výroku o jaký druh kategorického výroku jde:
    Image Upload 4
    Image Upload 5
  9. Vyjmenuj a charakterizuj hlavní vztahy výroků logického čtverce
    Image Upload 6

    • Výroky diskutovaných čtyř druhů mají rozmanité vztahy, jež byly předmětem logického zájmu. Tradiční logika těchto vztahů uznávala více než moderní logika, jež si ponechala v plné platnosti jen první z níže uváděných čtyř vztahů. Zbylé vztahy neplatí v moderní logice obecně; příčina jejich neplatnosti je viděna v souvislosti s možností, že některé termíny-predikáty mohou být prázdné.
    • • kontradiktoričnost (kontradikčnost, protikladnost): správný opak, negace daného výroku; dané výroky mají vždy opačnou pravdivostní hodnotu
    • např. „Všechny labutě jsou bílé“–„Některé labutě nejsou bílé“
    • • subalternost (podřazenost): lze přejít od a k i (nikoli však naopak), lze přejít od e k o (nikoli však naopak), čili a implikuje i a e implikuje o
    • např. „Všechny labutě jsou bílé“–„Některé labutě jsou bílé“
    • • kontrárnost (protiva): výroky a a e nemohou být oba pravdivé, ovšem oba mohou být nepravdivé
    • např. „Všechny labutě jsou bílé“–„Žádné labutě nejsou bílé“
    • • subkontrárnost (podprotiva): výroky o a i nemohou být oba nepravdivé, ovšem oba mohou být pravdivé
    • např. „Některé labutě jsou bílé“–„Některé labutě nejsou bílé“
  10. Které vztahy aristotelovského čtverce dnes moderní logika neuznává? proč?
    • Image Upload 7
    • Subalternost dle moderní logiky obecně neplatí, protože například obecný kladný výrok „Všechny labutě jsou bílé“ je pravdivý i za okolností, kdy žádné labutě neexistují, a tedy částečný kladný výrok „Některé labutě jsou bílé“ není pravdivý.
    • Podobně pro případ obecného záporného výroku, jenž obecně neimplikuje částečný záporný výrok. Obecná neplatnost subalternace se však přenáší i na kontrárnost a subkontrárnost.
    • Kontrárnost dle moderní logiky totiž obecně neplatí proto, že v definici je podmínka, že je-li obecný kladný výrok pravdivý, tak je nepravdivý obecný záporný výrok (a naopak), což znamená, že ten obecný kladný výrok implikuje částečný kladný výrok, což ale neplatí; neboli, negace obecného záporného výroku není subalternována obecnému kladnému výroku.
    • Zcela podobně pro subkontrárnost, která v definici předpokládá, že negace částečného kladného výroku, tj. obecný záporný výrok, implikuje částečný záporný výrok.
  11. Co to jsou "obraty"?
    • Patří k dalším studovaným vztahům. Jedná se o transformace
    • zachovávající ekvivalentnost (tj. vzájemné vyplývání) či implikování (tj. vyplývání) výroků.
    • Obraty jsou platné i v moderní logice; transformované formule
    • lze získat pomocí známých tautologií VL a logicky pravdivých formulí PL.
  12. Jaké druhy obratů znáš?
    obrat prostý, obrat po případě, obverze
  13. Nevýhody logického čtverce?
    • V jeho obvykle prezentované formě logický čtverec nezahrnuje například singulární výroky (někteří středověcí logici ale do  logického čtverce singulární výroky kladli, byť je museli upravovat na kvantifikující výroky).
    • Logický čtverec neklasifikuje ani výroky, v nichž kromě kvantifikátoru vystupují jiné logické spojky, než v obvyklém přepisu výroků logického čtverce (srov. například
    • „Něco je kulaté nebo hranaté“).
  14. df obrat prostý
    • (konverze výroků) – kvantita je zachována
    • AiB ↔ BiA   ... ∃x (A(x) ∧ B(x))     ↔ ∃x (B(x) ∧ A(x))
    • AeB ↔ BeA ... ∀x (A(x) → ¬B(x)) ↔ ∀x (B(x) → ¬A(x))
  15. df obrat po případě
    • kvantita je oslabena
    • AaB → BiA  ... ∀x (A(x) → B(x))   → ∃x (B(x) ∧ A(x))
    • AeB → BoA ... ∀x (A(x) → ¬B(x)) → ∃x (B(x) ∧ ¬A(x))
    • předpokladem platnosti tohoto vztahu je ale neprázdnost A
  16. df obverze
    • V literatuře často nalezneme ekvivalentní transformaci nazývanou obverze. Příklady dvojic výroků jsou „Všechna A jsou B“–„Žádná A nejsou non-B“, „Všechna A jsou non-B“–„Žádná A nejsou B“, „Některá A jsou B“–„Některá A nejsou non-B“, „Některá A jsou non-B“–„Některá A nejsou B“. (V těchto výrocích ovšem nemusí „non-“ znamenat jednoduše ¬.) ⇨ non- je tzv. nekonečná negace (nikoliv ¬).
    • ∀x (A(x) → B(x))       ↔ ∀x (A(x) → ¬ nonB(x))
    • ∀x (A(x) → nonB(x))  ↔ ∀x (A(x) → ¬B(x))
    • ∃x (A(x) ∧ B(x))        ↔ ∃x (A(x) ∧ ¬nonB(x))
    • ∃x (A(x) ∧ nonB(x))   ↔ ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
  17. příčinou zneplatnění subalternace, kontrárnosti a subkontrárnosti
    vzhledem k tradiční logice je, že...
    • některé termíny-predikáty mohou být prázdné (neexistuje individuum, které spadá po dpredikátem označovanou danou vlastnost), na což tradiční logika nebrala zřetel
    • Image Upload 8
  18. na rozdíl od tradiční logiky mohou být v moderní logice pravdivé obecné kategorické výroky i tehdy, když je (první) predikát prázdný, tj. obecné kategorické výroky nemají na rozdíl od částečných kategorických výroků tzv. ...
    existenční import
  19. df Vennovy diagramy
    • Vennovy diagramy jsou grafickým množinovým vyjádřením výroků, jinými slovy graficky znázorňují množinové vztahy mezi denotáty predikátů A a B daných výroků, na pozadí univerzu U
    • Základ Vennova diagramu pro reprezentaci sémantického obsahu výroků se dvěma monadickými predikáty je následující. Vzhledem k univerzu U nakreslíme dva kruhy reprezentující množiny A a B takto
    • Image Upload 9
    • Univerzum je tedy rozděleno na čtyři základní podmnožiny, z nichž do tří jejich grafických vyjádření budeme graficky vyznačovat sémantický obsah výroků logického čtverce.
    • Image Upload 10
    • pomocná terminologie:
    • Image Upload 11
    • Vennovými diagramy schematicky vyznačujeme, za  jakého stavu světa je daný výrok pravdivý. Částečné výroky jsou pravdivé, když aspoň nějaké individuum má tu či onu vlastnost. Obecné výroky jsou pravdivé, když některou vlastnost žádné individuum nemá. Vyznačujeme tedy nezbytnou podmínku platnosti výroku.
    • Částečné výroky do  výše uvedeného diagramu vyznačujeme pomocí křížku, který reprezentuje nějaké (tj. alespoň jedno) individuum, o kterém daný výrok může platit.
  20. Vennův diagram částečného kladného výroku (i)
    V případě částečného kladného výroku zakreslujeme křížek
    do ... Vyznačujeme tím tedy takový stav, kdy alespoň jedno individuum má vlastnosti ...
    formalizovaný zápis je ...
    • ...graficky vyjádřeného průniku obou množin, tedy do rybičky.
    • ... A i B.
    • Image Upload 12
    • ∃x (A(x) ∧ B(x))
  21. Vennův diagram částečného záporného výroku (o)
    V případě částečného záporného výroku zakreslujeme křížek
    do ...
    Vyznačujeme tedy takový stav, kdy...
    formalizovaný zápis je ...
    • ... do té části množiny A, která je mimo množinu B, tedy do půlměsíce. 
    • ... kdy alespoň jedno individuum má vlastnost A, avšak
    • nemá vlastnost B.
    • Image Upload 13
    • ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
  22. Obecné výroky vyznačujeme pomocí ...
    šrafování, které reprezentuje to, že v daném poli se zcela žádné individuum nenachází. Šrafování je takto jaksi negativní
  23. Vennův diagram obecného záporného výroku
    V  případě obecného záporného výroku šrafujeme...
    Vyznačujeme tedy takový stav, kdy ...
    formalizovaný zápis je ...
    • ... šrafujeme průnik obou množin, tedy rybičku.
    • ... kdy žádný prvek A nenáleží zároveň do množiny B. 
    • Image Upload 14
    • ∀x (A(x) → ¬B(x))
  24. Vennův diagram obecného kladného výroku
    V případě obecného kladného výroku šrafujeme ...
    Vyznačujeme tedy takový stav, kdy ...
    formalizovaný zápis je ...
    • ... tu část množiny A, graficky půlměsíce, která je mimo množinu B.
    • ..., kdy žádné individuum nemá vlastnost A, aniž by mělo vlastnost B; nezavazujeme se však k existenci nějakého A.
    • Image Upload 15
    • ∀x (A(x) → B(x))

    • Ačkoliv se v případě obecného kladného výroku vyznačování toho, že se žádné individuum v půlměsíci nenachází, zdá neobvyklé, zcela přesně reprezentuje to, co podle moderní logiky vyjadřuje daný výrok. Uvědomme si totiž, že například výrok „Každý jednorožec je savec“ (ekvivalentně „Pro každé individuum platí, že je-li jednorožec, je savec“) je nepravdivý jen v případě, kdy existují jednorožci, kteří nejsou savci, avšak je pravdivá v případech, kdy-
    • a) pro všechna x, která jsou jednorožcem (tj. formule J(x) je pravdivá) platí, že jsou savcem (atomická formule S(x) je tedy také pravdivá), nebo
    • b) žádní jednorožci nejsou (atomická formule J(x) je nepravdivá) a nikdo také není savcem (atomická formule S(x) je tedy také nepravdivá), anebo
    • c) žádní jednorožci nejsou (atomická formule J(x) je nepravdivá), avšak nějaká x, o nichž nic bližšího nevíme, jsou savci (atomická formule S(x) je tedy pravdivá).
  25. Jak vypadá Logický čtverec v moderní logice?
    Image Upload 16
Author
iren
ID
354916
Card Set
05. Logicky ctverec
Description
predikatova logika
Updated