03b Jazyk PL

• Každé ohodnocení e je funkce (zobrazení), která termům přiřazuje prvky univerza U. Značíme e(t)=ξ, kde t je term a ξ prvek U.
• - V PL jsou ohodnocovány termy (nikoli výrokové proměnné!)

• - formule jsou chápány jakožto hovořící o určité předmětné oblasti, jejíž základní elementy jsou v určitých vztazích, tj. hovořící o určité struktuře
• Struktura M sestává z neprázdného univerza U jakožto nosné množiny a množiny funkcí, jež jsou prvky Uⁿ ↦ U, a dále množiny relací, jež jsou podmnožinami Uⁿ, tj. obecně M=⟨U,Uⁿ↦U,Uⁿ〉.

• ^{Exaktní termín struktura M (mnohými značena „A“) bývá nezřídka zvláště v prostředí matematické logiky nahrazován termíny „model“, ba i interpretace.}
• Každá matematická struktura má dvě složky: nosnou množinu M + množinu operací na M, operací v širším slova smyslu.
• Pro ilustraci si vezměme náš příklad z kapitoly 1., jehož objekty lze chápat jako strukturu. Nosnou množinou M (značená též třeba |A|) této naší struktury byla {α,β,γ} (tj. Anna, Bára, Gabriela). V logice nosné množině často říkáme doména D či univerzum U. Univerzum U sestává z předmětů, jimž říkáme individua. Vynecháme-li nyní z operací funkce, tak jsou operacemi struktury především relace, v našem příkladu to byla třeba relace ‚být vyšší než‘.
• ^{Příkladem (matematické) struktury s  konečnou doménou je třeba〈{1,0},{¬,→}〉; příkladem struktury s nekonečnou doménou je třeba 〈N,{+,×},{<}〉,kde N je množina přirozených čísel, {+,×} je množinou funkcí (operací) na N a {<} je množinou relací na N (mnozí autoři vynechávají vnitřní závorky a píší rovnou〈N,+,×,<〉)}.

• M je zvána relační strukturou, pokud kromě domény obsahuje pouze relace.
• Příkladem relační struktury je námi níže běžně využívaná 〈U,Uⁿ〉 nebo třeba 〈Z,{<}〉, kde Z je množina celých čísel.
• Pokud nemá struktura žádné relace, je to algebraická struktura (někdy zestručňováno na algebra). Příkladem je třeba 〈{1,0},{¬,→}〉.

• nechť L je jazyk nějaké formální teorie, jež zahrnuje PL. Jazyk L je interpretován v tom smyslu, že jeho výrazy denotující objekty nějaké struktury. Například jména L denotují prvky U a predikáty L denotují relace definované nad U (namísto „nad U“ mnozí píší „nad M“). Pokud k tomu dochází, tedy jazyk L hovoří o věcech dané struktury, trefně se říká, že L má realizaci v této struktuře.
• Jazyk L má realizaci ve struktuře M právě tehdy, když všechny termy a funkční a predikátové symboly jazyka L mají každý svou dílčí realizaci v M, tj. označují prvky univerza U a funkce, jež jsou prvky Uⁿ↦U, a relace, jež jsou podmnožinami Uⁿ.

• Dílčí realizace jsou tyto:
• realizací termu t je ohodnocení e takové, že e(t)∈U (e je tedy definováno pro M, tj. úžeji pro U); realizací predikátového symbolu R^k je nějaká podmnožina U^k; realizací k-árního funkčního termu je funkce, jež je prvkem U^k↦U.
• - Zavedení termínu interpretace v námi intendovaném smyslu si odůvodníme následujícím pozorováním. Realizací nějaké formule jako takové není nic, protože pravdivostní hodnoty 1 a 0 v M nejsou.
• Pravdivostní hodnoty – 1 jako Pravda, 0 jako Nepravda – můžeme při vyznávání redukcionismu chápat jako totožné s nějakými objekty M (např. s univerzální a prázdnou množinou, v tomto pořadí), ale to není příliš obvyklé. Pravdivostní hodnoty můžeme totiž chápat až jako entity, jež jsou potřeba k realizaci našeho metajazyka ML, jímž popisujeme objektový jazyk L, jímž je právě zadávaný jazyk PL.
• Když tedy tvrdíme, že formuli A interpretujeme jakožto mající pravdivostní hodnotu 1 nebo 0, přičemž pravdivostní hodnoty v M_L (kde M je struktura pro jazyk L) nejsou, tak pravdivostní hodnoty jsou prvky M_ML.

• Interpretace ℑ je funkce, která všem výrazům jazyka L přiřazuje sémantické hodnoty vzhledem k realizaci L v M a k ohodnocení e
• ^{- správně by ℑ měla být explicitně vztahována k dané struktuře M, což vypouštíme}
• ^{- Interpretace ℑ v  sobě zahrnuje realizaci termů, tj. ohodnocení termů a realizaci funkčních a predikátových symbolů. V našem pojetí však zahrnuje i realizaci formulí jakožto označujících pravdivostní hodnoty}
• ^{- Termín „realizace formule“ se však neříká právě proto, že ve struktuře obvykle není žádný objekt (pravdivostní hodnota), který by mohl být realizací té formule. Pokud bychom chápali realizaci jako funkci přiřazující výrazům denotáty (resp. významy), tak bychom mohli chápat interpretaci prostě jako rozšíření funkce realizace a to o přiřazování denotátů formulím}.

• Interpretací ℑ termu t je realizace t v M. To znamená, že interpretací ℑ konstanty c je nějaký prvek univerza U. Interpretací ℑ proměnné x je rovněž nějaký prvek U, nicméně ten, který je té proměnné x přiřazen ohodnocením e.
• Interpretaci ℑ termu t při ohodnocení e značíme „ℑ(t)[e]“. Interpretace termů ℑ(t)[e] je binární funkce (zobrazení) definovaná na dvojicích 〈term, ohodnocení〉, přičemž její funkční hodnoty jsou prvky U.

• Interpretace termů
• 1) Termy
• i. Je-li term t proměnná x, pak ℑ(t)[e]=e(x).
• ii. Je-li t individuová konstanta c, pak ℑ(t)[e]=ℑ(c).

• Kvůli funkčním termům bývá někdy ohodnocení e rozšiřováno na  ē, jenž v sobě zahrnuje e. Je to ohodnocení proměnných, ale navíc ohodnocujei funkční termy-  
• 

• Obecně platí, že různá ohodnocení se mohou shodovat v tom, co přiřazují nějakému termu, přesněji proměnné – jedné či více proměnným mohou přiřazovat tytéž prvky U. Pozměněné ohodnocení se však bude lišit od původního ohodnocení jen v tom, co přiřazuje jedné určité proměnné.
• Pozměněné ohodnocení bývá mnohdy zapisováno e(p/x), kde p je konkrétní prvek U, který je přiřazen x, přičemž právě tímto jedním dílčím přiřazením se e(p/x) liší od e.
• Například e(β/x) je funkce identická s e, přičemž se navzájem liší jedině v tom, že e(β/x) přiřazuje proměnné x individuum β.

• Tato definice je rekurzivní, postupuje dle složitosti formule. Interpretaci ℑ formule A při ohodnocení e budeme zapisovat pomocí „ℑ(A)[e]“, kde A je formule.
• Interpretace formulí ℑ(A)[e] je binární funkce (zobrazení) definovaná na dvojicích 〈formule, ohodnocení〉, přičemž jejími funkčními hodnotami jsou pravdivostní hodnoty.

Je-li A atomická formule P^k(t₁,...,t_k), pak ℑ(A)[e]=1 právě tehdy, když〈ℑ(t₁)[e],...,ℑ(t_k)[e]〉∈ ℑ(P^k).

• i. Je-li A tvaru ∀x B, pak ℑ(A)[e]=1 právě tehdy, když při každém pozměněném ohodnocení eʹ platí ℑ(B)[eʹ]=1.
• ii. Je-li A tvaru ∃x B, pak ℑ(A)[e]=1 právě tehdy, když při některém pozměněném ohodnocení eʹ platí ℑ(B)[eʹ]=1.

- budeme používat zápis jako ℑ(P), jeho definice plyne z  definice sémantiky formulí jako P(a), P(x) apod.: „ℑ(P)“ označuje množinu všech těch individuí, pro něž – jsou-li hodnotami x – je formule P(x) pravdivá

• První krok definice vymezuje, kdy jsou pravdivé atomické formule jako P(a), P(x), nebo R(a,b) či R(a,x).
• - Tyto formule jsou pravdivé tehdy, když interpretace daných termů jsou prvky interpretací příslušných predikátů.
• Nechť U={α,β,γ}. Pak například formule ℑ(P(a))[e]=1 tehdy, když například ℑ(P)={α,β},ℑ(a)=α, a  tedy ℑ(a)∈(P). Obdobně pro P(x), jen s  tím, že musí být ℑ(x)[e]=αnebo ℑ(x)[e]=β.

V dalším dílčím příkladu platí ℑ(R(a,b))[e]=1 tehdy, když ℑ(a)=α,ℑ(b)=β a ℑ(P)={〈α,β〉,...} (kde „...“ označuje, že zde mohou, ale nemusí být další dvojice z U²). Interpretace R(a,x) či R(y,x) je snadno odvoditelná z výše řečeného.

• Zde je přehledná tabulka právě uváděných příkladů, kdy jsou do ‚sloupečků‘ pod termy psána přiřazená individua a pod predikátové symboly jsou kurzívou psány příslušné pravdivostní hodnoty. Nechť tedy
• U={α,β,γ}
• ℑ(P)={α,β}
• ℑ(R)={〈α,β〉,〈β,α〉}
• ℑ(a)=α
• ℑ(b)=β
• ℑ(x)[e]=β
• ℑ(y)[e]=α

• sémantika jazyka PL se dá stanovit i bez explicitního postulování pravdivostních hodnot 1 a  0.
• V takovéto definici je využit jen pojem struktury (resp. modelu) a pojem splňování.
• ^{Níže uvedená definice splňování formulí v M je ovšem ekvivalentní naší výše uváděné definici interpretace formulí PL. Někdy tato definice bývá označována jako Tarského definice pravdy (lépe by bylo říci pravdivosti formulí; jiný název je Tarského definice splňování), protože ji jako první formuloval Alfred Tarski ve své proslulé stati o sémantickém pojmu pravdy.}
• M je nějaká realita, a uvažme, že v ní je třeba Alík psem. Formule P(a), formalizace věty „Alík je pes“, je pravdivá právě proto, že se shoduje s touto realitou, takže ‚vyplývá‘ z této reality. Když si představíme trochu jiný příklad, snížíme krkolomnost tohoto připodobnění. Uvažme pro jednoduchost, že struktura M je velmi primitivní realita, v níž se děje jen jediná věc- Alík je psem. Pak M můžeme ztotožnit s jejím nejmenším kompletním popisem, tj. s množinou formulí {P(a)}. Z této množiny formulí {P(a)} pak vyplývá například ∃x P(x), tj. {P(a)} I= ∃x P(x), neboli M I= ∃x P(x).

ohodnocení e splňuje ve struktuře M formuli A (či "M splňuje formuli A při ohodnocení e"), stručně M I= A[e]

Je-li A tvaru: ... pak M I= A[e] právě tehdy, když:...

• Model formule A je struktura M, v níž je formule A pravdivá při daném ohodnocení e (tj. je splnitelná).
• Struktura M, v níž je formule A při daném ohodnocení e nepravdivá (tj. je nesplnitelná), je zvána kontramodel A.
• ^{Takže výše uvažovaná velmi jednoduchá struktura M, v  níž je Alík psem, je modelem formule P(a) („Alík je pes“). Je však také modelem formule ∃x P(x). Na druhou stranu, je kontramodelem ¬P(a) („Alík není pes“)}.
• Lehko si pak můžeme uvědomit, proč někteří autoři neodlišují strukturu a model. Pravdivé věty ‚zrcadlí‘ realitu, tj. model. Části nepravdivých vět sice ve struktuře modelu mají realizaci (např. „P“ z ¬P(a) má ve struktuře jako korelát určitou množinu), ale ta realita není modelem této věty, ta věta této realitě neodpovídá.

pravdivost otevřených formulí závisí na ohodnocení e, kdežto uzavřené formule takto citlivé na e nejsou, stačí ověřit jejich pravdivost pouze při jednom ohodnocení

splnění – přesněji splnění ohodnocením e při interpretaci ℑ. Míní se tím pravdivost v interpretaci ℑ ohodnocením e

• a) Formule A je pravdivá při ohodnocení e (tj. je splněna ohodnocením e) v interpretaci ℑ struktury M právě tehdy, když ℑ_M A[e]=1.
• b) Formule A je pravdivá v interpretaci ℑ struktury M právě tehdy, když pro každé ohodnocení e platí, že ℑ_M A[e]=1. Značíme ℑ_M (A)=1.
• c) Formule A je logicky pravdivá právě tehdy, když je pravdivá v každé struktuře M. Značíme I= A.

• Pokud bychom nepoužívali náš pojem interpretace a vystačili si jen s pojmem splňování, pak by obdoby právě definovaných tří druhů pravdivosti byly následující
• a) Formule A je splněna ohodnocením e ve struktuře M právě tehdy, když M I= A[e], tj. ℑ_M A[e]=1.
• b) Formule A  je pravdivá ve struktuře M právě tehdy, když pro každé ohodnocení e platí, že M I= A[e]. Značíme M I= A.
• c) Formule A je logicky pravdivá právě tehdy, když je pravdivá v každé struktuře M. Značíme I= A.

Často bývá tato definice doplňována takto. Formule A  je splnitelná ve struktuře M právě tehdy, když existuje ohodnocení e takové, že M I= A[e].

logicky platná či formule validní

formule A je logicky nepravdivá (či logicky sporná), právě když je negací logicky pravdivé formule, tj. když neexistuje ℑ, při níž by byla A pravdivá

formule A a B jsou ekvivalentní, právě když je logicky platná formule A ⇿ B

• Formule A vyplývá z formulí A₁, A₂, A_n právě tehdy, když A je pravdivá v každé interpretaci, při níž jsou pravdivé všechny formule A₁, A₂, A_n. Značíme A₁, A₂, A_n I= A.
• - Namísto vyplývá se někdy říká logicky vyplývá.
• - Poznamenejme, že je nezvyklé a zavádějící užívat termín „predikátově-logicky vyplývá“, neboť v ostatních
• logických systémech, například v  (kvantifikované) modální logice platí stále táž definice vyplývání; jazyk modální logiky se totiž od PL liší jen speciálními konstantami.
• - Připomeňme si, že v klasické logice platí A₁, A₂,..., A_n I= A právě tehdy, když konjunkce všech formulí A₁, A₂,..., A_n implikuje A  s  logickou nutností, tedy když formule (A₁∧A_2∧...∧A_n)→A je tautologií.

• Mnoho formálních logiků hovoří o tom, že logika je vědou o logickém důsledku. Ten je definován následovně („A₁,..., A_n“ je zkratkou za „{A₁,..., A_n}“)
• Formule A je logickým důsledkem formulí A₁, A₂, A_n právě tehdy, když A je pravdivá v každém modelu, v němž jsou pravdivé formule A₁, A₂, A_n. Značíme A₁, A₂, A_n I= A.
• _{Někdy se říká, že pojem logického důsledku je přesnější než pojem vyplývání. Přitom však záleží na  tom, jak je přesně definována interpretace. Uvažme pro ilustrativní příklad množinu formulí {A(x)} a  formuli ∀x A(x). Existuje interpretace a ohodnocení, při nichž je formule A(x) pravdivá, avšak ∀x A(x) nikoli, tj. kvantifikovaná formule nevyplývá z dané množiny formulí.}
• _{Právě uváděný pojem logického důsledku říká, že formule ∀x A(x) není důsledkem {A(x)} právě proto, že není pravdivá při tom ohodnocení, při němž je pravdivou formule A(x).}

• Struktura M je modelem množiny formulí Γ právě tehdy, když v M je každá formule A, jež je prvkem Γ, splnitelná, tj. je pravdivá při daném ohodnocením e. Značíme M I= Γ.
• _{později budeme definovat model teorie T, kdy T vlastně bude něčím, co generuje určitou množinu formulí. Daná definice tedy bude vymezovat užší pojem. Rozdíl je ten, že v právě uvedené definici je Γ libovolnou množinou formulí, kdežto T lze chápat jen jako množinu formulí generovaných z axiomů T.}
• S  pojmem modelu množiny formulí můžeme zavést vyplývání A  z  Γ ve struktuře M následovně- Γ I=_M A právě tehdy, když pro každý model M platí, že jestliže I=_M Γ, tak I=_M A. (Mj. I= A lze vhodně chápat jako ⊘ I= A.)