01 Terminologie

  1. V čem se především liší PL od VL?
    • - na rozdíl od VL si predikátová logika (PL) všímá nejen struktury vět složených, ale i struktury vět jednoduchých
    • - díky tomu PL podstatně rozlišuje možnosti vymezení platných úsudků
    • - PL lze vhodně využít k popisu prvků, jež mají určité vlastnosti a jsou v určitých vztazích
    • - jazyk PL  obsahuje také výrokové spojky jako např. ¬, →, ∧ - díky tomuto zahrnuje VL a tak je expresivnějším rámcem než VL

    tedy je schopna analýzy jednoduchých výroků a též provádět jejich kvantifikaci a predikci
  2. PL v jednoduchých větách rozeznává:
    • - subjekt, tj. zpravidla individuum, o němž se něco predikuje, něco se o něm vypovídá, něco se mu přisuzuje prostřednictvím predikátu
    • - predikát intuitivně chápeme jako výraz, který označuje vlastnost nebo vztah
  3. definuj Universum diskurzu
    • - pro ilustraci uvažme tři ženy, Annu, Báru a Gabrielu; tyto tvoří náš obor úvahy, univerzum diskurzu (stručně univerzum, značeno U)
    • - tyto ženy si označme po řadě metajazykovými výrazy α,β,γ, načež U = ⟨α, β, γ⟩
    • - univerzum je množina (všech) individuí, obor úvahy

    • Všechny uvažované množiny (obecně elementy) jsou podmnožinami určité množiny, kterou nazýváme obor úvahy či univerzum (nazýváno též univerzum diskurzu), tedy U.
    • - můžeme konstituovat i množiny množin, tedy množiny, jejímiž prvky jsou množiny; hierarchie množin
  4. Definuj Individuové konstanty
    • - jména zastupující ženy (Anna, ...) nahradíme po řadě individuovými konstantami "a", "b", "c" (nikoli individuální!)
    • - individuové konstanty jsou výrazy, které fungují obdobně jako vlastní jména
    • - podobně jako tato jména budou mít konstanty vždy stejnou, konstantní interpretaci, takže "a" bude znamenat individuum α, "b" bude znamenat individuum β, atd.
  5. Definuj predikát
    • Predikát je jazykový výraz, který označuje vlastnost nebo vztah, kterou nebo který lze predikovat o individuu nebo individuích.
    • - např. "(být) žena" nebo "(být) vyšší než (někdo)"

    • predikáty označující vlastnosti nazýváme podle jejich četnosti (arity) monadické predikáty, predikáty označující dvoučetné, tříčetné až n-četné vztahy nazýváme binární, ternárnín-ární predikáty
    • - vlastnost být žena je přisuzovatelná Anně, nebo také Báře či Gabriele, každé z nich ale jednotlivě
    • - vztah být vyšší než je přisuzovatelný např. dvojici Anna a Bára nebo třeba dvojici Bára a Gabriela
  6. definuj Predikátové symboly
    • součástí formálního jazyka PL nejsou samy predikáty, ale predikátové symboly zastupující predikáty
    • - jako predikátové symboly obvykle volíme velká písmena odpovídající prvním písmenům daného predikátu, např. "Z" zastupuje "(být) ", "V" zastupuje "(být) vyšší než (někdo)"
    • - věty jako "Anna je žena." či "Anna je vyšší než Bára." formalizujme prostředky PL jako "Z(a)" a "V(a; b)"
  7. vlastnosti a n-ární vztahy jsou v klasické PL reprezentovány extenzionalisticky, totiž pomocí ...
    • množin prvků, resp. množin n-tic prvků
    • - např. vlastnost být je modelována pomocí množiny ⟨α, β, γ), což je (nevlastní) podmnožina U
    • - binární vztah být vyšší než (někdo) je modelován jako jistá množina uspořádaných dvojic, např. jako množina ⌊⟨α,β⟩, ⟨β,γ⟩, ⟨α,γ⟩⌉, což je podmnožina kartézského součinu univerza U x U, tj. U2

    • predikátové symboly jsou v sémantice PL interpretovány právě množinami
    • - další souvislost s teorií množin- formuli "Z(a)" odpovídá v jazyce teorie množin "a ∊ Z"
  8. Definuj Individuové proměnné
    • kromě individuových konstant disponuje jazyk PL také individuovými proměnnými x; y; z; x1; y1; z1; ...
    • - proměnné zastupují individua neurčitě, v závislosti na valuaci (proměnná představuje libovolné, ale nespecifikované individuum)

    • využití proměnných je obdobné roli (jazykových) zájmen, ovšem jejich značný potenciál tkví v tom, že umožňují technicky vystihnout kvantifikaci
    • - nahradíme-li totiž ve větě "Gabriela je žena." jméno "Gabriela" proměnnou x, můžeme získat otevřenou větu, větnou matrici (resp. výrokovou funkci) "x je žena", kde x může nabývat (v závislosti od ohodnocení) hodnotu individuum α, nebo β, či γ
    • - tuto matrici můžeme ovšem uzavřít kvantifikujícím výrazem jako např. "každé" (ekvivalentně třeba "pro všechna x platí, že") a získat tak kvantifikovaný výrok "Každé x je žena."
  9. Jmenuj dva základní kvantifikátory v PL
    Image Upload 1
  10. Jak v PL chápeme vlastnosti a vztahy?
    vlastnosti modelujeme jako množiny individuí; monadické predikáty chápeme jako prostředky označení vlastností

    vztahy modelujeme jako množiny n-tic individuí, tj. n-ární relace; n-ární predikáty chápeme jako prostředky označení vztahů
  11. Definuj množinu
    • soubor libovolných předmětů.
    • - anticipátor teorie množin, Bernard Bolzano, zavedl pojem množiny jakožto souhrnu věcí, ve kterém je způsob spojení nebo uspořádání jeho prvků lhostejný
    • - zakladatel teorie množin, Georg Cantor, vymezil pojem množiny takto- Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme prvky) do jediného celku "M".
    • - množiny jsou tedy definičně dány právě a pouze svými prvky
    • - množiny nezachycují strukturu, uspořádání, ani pořadí
  12. Jaký je formální zápis množin?
    Image Upload 2Image Upload 3
  13. množiny vymezujme:
    Image Upload 4
  14. Definuj "Náležení do množiny (být prvkem množiny)"
    Jestliže x je prvkem množiny M, pak píšeme x ∊ M, kde ∊ je relace náležení prvku do množiny (relace být prvkem); pokud x prvkem M není, píšeme x ∉ M.
  15. definuj kardinalitu, prázdnou množinu a singelton
    • Prázdná množina ∅ = množina, která neobsahuje žádný prvek
    • singelton = jednoprvková množina 
    • kardinalita (též mohutnost) množiny l M l = počet prvků množiny
  16. Definuj podmnožinu
    • Množina M je podmnožinou množiny N, právě když pro všechny objekty x platí, že pokud x ∊ M, pak x ∊ N, tedy že každý prvek M je rovněž prvkem N (ale ne nutně naopak).
    • Ekvivalentně říkáme, že množina M je k množině N ve vztahu (ostré) inkluze (ev. obsažení), značeno M ⊂ N.
  17. co  znamená ostrá a neostrá inkluze?
    množina M je k množině N ve vztahu (ostré) inkluze (ev. obsažení), značeno M N, tehdy, když M je podmnožinou N

    ⊆ neostrá inkluze znamená, že může platit M = N (rovnost množin)

    - M je nazývána vlastní podmnožinou N, značeno M ⊂ N, právě když M ⊆ N a přitom M≠N

    vztahy ∊ a ⊆ se závažným způsobem liší - např. podmnožina množiny lžic není prvkem množiny lžic, není to lžíce
  18. Definuj potenční množinu
    Potenční množinou dané množiny M, značeno Power(M) (ev. Papod.), je množina všech podmnožin množiny M.

    Image Upload 5
  19. definuj Cantorovu větu
    počet prvků potenční množiny M, tj. lPMl, je dán vzorcem Image Upload 6
  20. jmenuj základní principy stavby množin
    Komplementární množina k M vzhledem k U, tj. doplněk množiny M do U, je množina všech těch prvků U, které nepatří do M. Značena M(alternativy −M, U−M, U∖M, M´, či M s čarou).

    Sjednocení množin M a N, značeno M ∪ N je množina taková, že pro každý její prvek platí, že je prvkem množiny M nebo množiny N.

    Průnik množin M a N, značeno M ∩ N, je množina, která obsahuje pouze a právě prvky nacházející se v obou množinách M a N.

    Rozdíl množin M a N, značeno M−N (ev. M∖N), je množina všech prvků M, které nejsou v průniku M s N.

    Image Upload 7

    Image Upload 8
  21. Co je Uspořádáná n-tice?
    • = množina, u níž je určeno pořadí prvků na základě konvence, že x je první a y je druhý prvek, atd.
    • - uspořádané n-tice mohou mít n prvků, z nichž každý může být mnohokrát opakován (toto je umožněno fixováním pořadí)

    Uspořádaná dvojice prvků (ev. množin) x a y je množinový útvar ⟨x, y⟩ (někdy značeno [x, y]), který bývá definován např. (K. Kuratowski) ⟨x, y⟩ = df {{x}, {x, y}}.

    • - je to tak množina, jejíž prvek {x, y} určuje, o které dva prvky (ev. dvě množiny) jde, a prvek {x} vyznačuje, který prvek (ev. množina) je první
    • - prvek xi (pro 1 ≤ i ≤ n) nazývá i-tý člen (či i-tá složka) dané uspořádané n-tice
    • - definici lze zobecnit na libovolně četné n-tice

    Image Upload 9
  22. df Kartézský součin
    • Image Upload 10
    • Kartézský součin množin M a N, značeno M×N, je množina uspořádaných dvojic ⟨x,y⟩ takových, že x ∈ M a y ∈ N.

    • příklad: nechť M = {1,2} a N = {a,b}, pak M ×N je { ⟨1, a⟩, ⟨1,b⟩, ⟨2,a⟩, ⟨2,b⟩}
    • - množiny vcházející v kartézský součin nemusí být vzájemně disjunktní (tj. nepřekrývající se), např. to mohou být množiny M = {a,b} a N ={b,c}
    • - počet prvků kartézského součinu M × N, tj. |M × N|, je m×n, kde |M| = m a |N|=n
    • - vícenásobný kartézský součin je M1 × M2 × ... × Mn = Mn−1 × Mn = Mn
  23. Df relace
    • Relace R jsou podmnožiny kartézského součinu M1 × M2 × M3 ×... (přičemž Mi může být rovno Mj, pro 1 ≤ i,j), tj. R ⊆ M1 × M2 × M3 ×.... Neboli, jsou to množiny uspořádaných n-tic.
    • - kromě binárních relací R ⊆ M1 ×M2, rozeznáváme n-ární (n-místné) relace, jež jsou podmnožinami kartézského součinu M1 × ... × Mn, tj. R⊆M1×...×Mn; aritu n vyznačujeme Rn
    • - náležení n-tice do relace zapisujeme ⟨x,y,z,...⟩∈ R
    • - často bývá uplatňován infixní způsob zápisu xRy, kdy je zřejmé, že prvky x a y (tzv. relata) jsou spojena relátorem R
    • - množinu všech těch x pro něž existuje y takové, že xRy nazýváme prvním oborem R; množinu všech těch y, pro něž existuje x takové, že xRy nazýváme druhým oborem; někdy se také hovoří o levém a pravém oboru, či oboru a protioboru; Sjednocení obou oborů se nazývá pole relace
  24. Df funkce
    Image Upload 11

    • - pojem relace lze využít k definování pojmu funkce (funkci lze ovšem definovat i jinak)
    • - tento pojem funkce je spjat s pojetím funkce jakožto grafu (tabulky) souřadnic (argument - funkční hodnota)
    • - Funkce je binární relace F taková, že F ⊆ M ×N, právě když ke každému x ∈ M existuje právě (ev. nanejvýš) jedno y ∈ N takové, že xFy (tedy je-li {x, y} ∈ F a {x,z} ∈ F, tak y = z). Funkci v tomto smyslu se říká zobrazení.
    • - běžnějí zápis je f(x), či také y = f(x) - - množina všech x se nazývá denifiční obor funkce, množina všech y takových, že y = f(x), se nazývá obor funkčních hodnot (či hodnot zobrazení; stručně se hovoří o argumentech a funkčních hodnotách
  25. Df n-ární fce
    kromě jednoargumentových funkcí (arita=1) existují i funkce definované na uspořádaných n-ticích (dvojicích, trojicích, ..., atd.), tedy n-argumentové funkce, stručněji n-ární funkce
  26. df totální/parciální fce
    • funkce je totální, jestliže ke každému x ∈ M existuje právě jeden prvek y ∈ N takový, že f(x) = y
    • - funkci je parciální (ev. částečná, částečně definovaná), jestliže ke každému x ∈ M existuje nanejvýše jeden prvek y ∈ N, že f(x) = y
    • - v klasické logice se nepoužívají
  27. Df Russelův paradox
    • - naivní teorie množin dovoluje nekritickou výstavbu množin, což umožňuje Russellův paradox Russellův paradox:
    • R={x|x ∉ x}, kde x je proměnná pro množiny a R jméno Russellovy množiny
    • - předpokládáme-li, že množina R není prvkem sama sebe, tak by dle denice neměla být svým prvkem
    • - předpokládáme-li naopak, že není prvkem sama sebe, tak by měla být svým prvkem
    • - tyto předpoklady tedy vedou ke sporu, R proto existovat nemůže

    • - musíme proto odmítnout nekritický princip výstavby množin, jmenovitě Axiom neomezené komprehenze, podle něhož každé formuli (vč. každé denice množiny) odpovídá nějaká množina
    • - náhradou naivní teorie množin jsou zejm. axiomaticky budované teorie množin, nejznámější jsou Zermelova-Fraenkelova axiomatizace ZFC (C značí přítomnost axiomu výběru) a von Neumannova-Bernaysova-Gödelova axiomatizace NBG
    • --------------------------
    • Russellův paradox (též Russellova antinomie) je paradox, objevený v roce 1901 Bertrandem Russellem, který ukazuje, že Cantorova intuitivní teorie množin (naivní teorie množin) je vnitřně sporná.

    • Holičův paradox:
    • Holič ze Sevilly holí právě ty ze sevillských mužů, kteří se neholí sami. Pokusíme-li se odpovědět na otázku, zda holič holí sám sebe, dostaneme se do bludného kruhu. Pokud se sám neholí, tak se musí holit, protože holí ty, co se sami neholí. A naopak holí-li se sám, tak se holit nemůže, protože holí jen ty, kteří se sami neholí.
Author
iren
ID
354769
Card Set
01 Terminologie
Description
predikatova logika
Updated