01 Terminologie

• - na rozdíl od VL si predikátová logika (PL) všímá nejen struktury vět složených, ale i struktury vět jednoduchých
• - díky tomu PL podstatně rozlišuje možnosti vymezení platných úsudků
• - PL lze vhodně využít k popisu prvků, jež mají určité vlastnosti a jsou v určitých vztazích
• - jazyk PL  obsahuje také výrokové spojky jako např. ¬, →, ∧ - díky tomuto zahrnuje VL a tak je expresivnějším rámcem než VL

tedy je schopna analýzy jednoduchých výroků a též provádět jejich kvantifikaci a predikci

• - subjekt, tj. zpravidla individuum, o němž se něco predikuje, něco se o něm vypovídá, něco se mu přisuzuje prostřednictvím predikátu
• - predikát intuitivně chápeme jako výraz, který označuje vlastnost nebo vztah

• - pro ilustraci uvažme tři ženy, Annu, Báru a Gabrielu; tyto tvoří náš obor úvahy, univerzum diskurzu (stručně univerzum, značeno U)
• - tyto ženy si označme po řadě metajazykovými výrazy α,β,γ, načež U = ⟨α, β, γ⟩
• - univerzum je množina (všech) individuí, obor úvahy

• Všechny uvažované množiny (obecně elementy) jsou podmnožinami určité množiny, kterou nazýváme obor úvahy či univerzum (nazýváno též univerzum diskurzu), tedy U.
• - můžeme konstituovat i množiny množin, tedy množiny, jejímiž prvky jsou množiny; hierarchie množin

• - jména zastupující ženy (Anna, ...) nahradíme po řadě individuovými konstantami "a", "b", "c" (nikoli individuální!)
• - individuové konstanty jsou výrazy, které fungují obdobně jako vlastní jména
• - podobně jako tato jména budou mít konstanty vždy stejnou, konstantní interpretaci, takže "a" bude znamenat individuum α, "b" bude znamenat individuum β, atd.

• Predikát je jazykový výraz, který označuje vlastnost nebo vztah, kterou nebo který lze predikovat o individuu nebo individuích.
• - např. "(být) žena" nebo "(být) vyšší než (někdo)"

• predikáty označující vlastnosti nazýváme podle jejich četnosti (arity) monadické predikáty, predikáty označující dvoučetné, tříčetné až n-četné vztahy nazýváme binární, ternární až n-ární predikáty
• ^{- vlastnost být žena je přisuzovatelná Anně, nebo také Báře či Gabriele, každé z nich ale jednotlivě}
• ^{- vztah být vyšší než je přisuzovatelný např. dvojici Anna a Bára nebo třeba dvojici Bára a Gabriela}

• součástí formálního jazyka PL nejsou samy predikáty, ale predikátové symboly zastupující predikáty
• - jako predikátové symboly obvykle volíme velká písmena odpovídající prvním písmenům daného predikátu, např. "Z" zastupuje "(být) ", "V" zastupuje "(být) vyšší než (někdo)"
• ^{- věty jako "Anna je žena." či "Anna je vyšší než Bára." formalizujme prostředky PL jako "Z(a)" a "V(a; b)"}

• množin prvků, resp. množin n-tic prvků
• - např. vlastnost být je modelována pomocí množiny ⟨α, β, γ), což je (nevlastní) podmnožina U
• - binární vztah být vyšší než (někdo) je modelován jako jistá množina uspořádaných dvojic, např. jako množina ⌊⟨α,β⟩, ⟨β,γ⟩, ⟨α,γ⟩⌉, což je podmnožina kartézského součinu univerza U x U, tj. U²

• predikátové symboly jsou v sémantice PL interpretovány právě množinami
• - další souvislost s teorií množin- formuli "Z(a)" odpovídá v jazyce teorie množin "a ∊ Z"

• kromě individuových konstant disponuje jazyk PL také individuovými proměnnými x; y; z; x1; y1; z1; ...
• - proměnné zastupují individua neurčitě, v závislosti na valuaci (proměnná představuje libovolné, ale nespecifikované individuum)

• využití proměnných je obdobné roli (jazykových) zájmen, ovšem jejich značný potenciál tkví v tom, že umožňují technicky vystihnout kvantifikaci
• - nahradíme-li totiž ve větě "Gabriela je žena." jméno "Gabriela" proměnnou x, můžeme získat otevřenou větu, větnou matrici (resp. výrokovou funkci) "x je žena", kde x může nabývat (v závislosti od ohodnocení) hodnotu individuum α, nebo β, či γ
• - tuto matrici můžeme ovšem uzavřít kvantifikujícím výrazem jako např. "každé" (ekvivalentně třeba "pro všechna x platí, že") a získat tak kvantifikovaný výrok "Každé x je žena."

vlastnosti modelujeme jako množiny individuí; monadické predikáty chápeme jako prostředky označení vlastností

vztahy modelujeme jako množiny n-tic individuí, tj. n-ární relace; n-ární predikáty chápeme jako prostředky označení vztahů

• = soubor libovolných předmětů.
• - anticipátor teorie množin, Bernard Bolzano, zavedl pojem množiny jakožto souhrnu věcí, ve kterém je způsob spojení nebo uspořádání jeho prvků lhostejný
• - zakladatel teorie množin, Georg Cantor, vymezil pojem množiny takto- Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme prvky) do jediného celku "M".
• ⇓
• - množiny jsou tedy definičně dány právě a pouze svými prvky
• - množiny nezachycují strukturu, uspořádání, ani pořadí

Jestliže x je prvkem množiny M, pak píšeme x ∊ M, kde ∊ je relace náležení prvku do množiny (relace být prvkem); pokud x prvkem M není, píšeme x ∉ M.

• Prázdná množina ∅ = množina, která neobsahuje žádný prvek
• singelton = jednoprvková množina 
• kardinalita (též mohutnost) množiny l M l = počet prvků množiny

• Množina M je podmnožinou množiny N, právě když pro všechny objekty x platí, že pokud x ∊ M, pak x ∊ N, tedy že každý prvek M je rovněž prvkem N (ale ne nutně naopak).
• Ekvivalentně říkáme, že množina M je k množině N ve vztahu (ostré) inkluze (ev. obsažení), značeno M ⊂ N.

množina M je k množině N ve vztahu (ostré) inkluze (ev. obsažení), značeno M ⊂ N, tehdy, když M je podmnožinou N

⊆ neostrá inkluze znamená, že může platit M = N (rovnost množin)

- M je nazývána vlastní podmnožinou N, značeno M ⊂ N, právě když M ⊆ N a přitom M≠N

vztahy ∊ a ⊆ se závažným způsobem liší - např. podmnožina množiny lžic není prvkem množiny lžic, není to lžíce

Potenční množinou dané množiny M, značeno Power(M) (ev. P_M apod.), je množina všech podmnožin množiny M.

počet prvků potenční množiny M, tj. lP_Ml, je dán vzorcem 

Komplementární množina k M vzhledem k U, tj. doplněk množiny M do U, je množina všech těch prvků U, které nepatří do M. Značena M^C (alternativy −M, U−M, U∖M, M´, či M s čarou).

Sjednocení množin M a N, značeno M ∪ N je množina taková, že pro každý její prvek platí, že je prvkem množiny M nebo množiny N.

Průnik množin M a N, značeno M ∩ N, je množina, která obsahuje pouze a právě prvky nacházející se v obou množinách M a N.

Rozdíl množin M a N, značeno M−N (ev. M∖N), je množina všech prvků M, které nejsou v průniku M s N.

• = množina, u níž je určeno pořadí prvků na základě konvence, že x je první a y je druhý prvek, atd.
• - uspořádané n-tice mohou mít n prvků, z nichž každý může být mnohokrát opakován (toto je umožněno fixováním pořadí)

Uspořádaná dvojice prvků (ev. množin) x a y je množinový útvar ⟨x, y⟩ ^{(někdy značeno [x, y])}, který bývá definován např. ^{(K. Kuratowski)} ⟨x, y⟩ = df {{x}, {x, y}}.

• ^{- je to tak množina, jejíž prvek {x, y} určuje, o které dva prvky (ev. dvě množiny) jde, a prvek {x} vyznačuje, který prvek (ev. množina) je první}
• - prvek x_i (pro 1 ≤ i ≤ n) nazývá i-tý člen ^{(či i-tá složka)} dané uspořádané n-tice
• - definici lze zobecnit na libovolně četné n-tice

• Kartézský součin množin M a N, značeno M×N, je množina uspořádaných dvojic ⟨x,y⟩ takových, že x ∈ M a y ∈ N.

• příklad: nechť M = {1,2} a N = {a,b}, pak M ×N je { ⟨1, a⟩, ⟨1,b⟩, ⟨2,a⟩, ⟨2,b⟩}
• - množiny vcházející v kartézský součin nemusí být vzájemně disjunktní (tj. nepřekrývající se), např. to mohou být množiny M = {a,b} a N ={b,c}
• - počet prvků kartézského součinu M × N, tj. |M × N|, je m×n, kde |M| = m a |N|=n
• - vícenásobný kartézský součin je M₁ × M₂ × ... × M_n = Mⁿ⁻¹ × M_n = Mⁿ

• Relace R jsou podmnožiny kartézského součinu M₁ × M₂ × M₃ ×... (přičemž M_i může být rovno M_j, pro 1 ≤ i,j), tj. R ⊆ M^₁ × M₂ × M₃ ×.... Neboli, jsou to množiny uspořádaných n-tic.
• - kromě binárních relací R ⊆ M1 ×M2, rozeznáváme n-ární (n-místné) relace, jež jsou podmnožinami kartézského součinu M1 × ... × Mn, tj. R⊆M1×...×Mn; aritu n vyznačujeme Rⁿ
• - náležení n-tice do relace zapisujeme ⟨x,y,z,...⟩∈ R
• - často bývá uplatňován infixní způsob zápisu xRy, kdy je zřejmé, že prvky x a y (tzv. relata) jsou spojena relátorem R
• - množinu všech těch x pro něž existuje y takové, že xRy nazýváme prvním oborem R; množinu všech těch y, pro něž existuje x takové, že xRy nazýváme druhým oborem; někdy se také hovoří o levém a pravém oboru, či oboru a protioboru; Sjednocení obou oborů se nazývá pole relace

• - pojem relace lze využít k definování pojmu funkce (funkci lze ovšem definovat i jinak)
• - tento pojem funkce je spjat s pojetím funkce jakožto grafu (tabulky) souřadnic (argument - funkční hodnota)
• - Funkce je binární relace F taková, že F ⊆ M ×N, právě když ke každému x ∈ M existuje právě (ev. nanejvýš) jedno y ∈ N takové, že xFy (tedy je-li {x, y} ∈ F a {x,z} ∈ F, tak y = z). Funkci v tomto smyslu se říká zobrazení.
• - běžnějí zápis je f(x), či také y = f(x) - - množina všech x se nazývá denifiční obor funkce, množina všech y takových, že y = f(x), se nazývá obor funkčních hodnot (či hodnot zobrazení; stručně se hovoří o argumentech a funkčních hodnotách

kromě jednoargumentových funkcí (arita=1) existují i funkce definované na uspořádaných n-ticích (dvojicích, trojicích, ..., atd.), tedy n-argumentové funkce, stručněji n-ární funkce

• funkce je totální, jestliže ke každému x ∈ M existuje právě jeden prvek y ∈ N takový, že f(x) = y
• - funkci je parciální (ev. částečná, částečně definovaná), jestliže ke každému x ∈ M existuje nanejvýše jeden prvek y ∈ N, že f(x) = y
• - v klasické logice se nepoužívají

• - naivní teorie množin dovoluje nekritickou výstavbu množin, což umožňuje Russellův paradox Russellův paradox:
• R={x|x ∉ x}, kde x je proměnná pro množiny a R jméno Russellovy množiny
• - předpokládáme-li, že množina R není prvkem sama sebe, tak by dle denice neměla být svým prvkem
• - předpokládáme-li naopak, že není prvkem sama sebe, tak by měla být svým prvkem
• - tyto předpoklady tedy vedou ke sporu, R proto existovat nemůže

• - musíme proto odmítnout nekritický princip výstavby množin, jmenovitě Axiom neomezené komprehenze, podle něhož každé formuli (vč. každé denice množiny) odpovídá nějaká množina
• - náhradou naivní teorie množin jsou zejm. axiomaticky budované teorie množin, nejznámější jsou Zermelova-Fraenkelova axiomatizace ZFC (C značí přítomnost axiomu výběru) a von Neumannova-Bernaysova-Gödelova axiomatizace NBG
• --------------------------
• Russellův paradox (též Russellova antinomie) je paradox, objevený v roce 1901 Bertrandem Russellem, který ukazuje, že Cantorova intuitivní teorie množin (naivní teorie množin) je vnitřně sporná.

• Holičův paradox:
• Holič ze Sevilly holí právě ty ze sevillských mužů, kteří se neholí sami. Pokusíme-li se odpovědět na otázku, zda holič holí sám sebe, dostaneme se do bludného kruhu. Pokud se sám neholí, tak se musí holit, protože holí ty, co se sami neholí. A naopak holí-li se sám, tak se holit nemůže, protože holí jen ty, kteří se sami neholí.