Ekvationer

  1. Additionsmetoden?
    • Addera vänsterleden för sig och högerleden för sig. 
    • Eventuellt förläng/förkorta en av ekvationerna.
    • Eliminera en okännd så att endast en okänd blir kvar. räkna ut ekvationen. Sätt in värdet på den okända i någon av ekvationerna och räkna ut den andra okända.

    • Alternativ förklaring som går ut på samma sak som ovan: Få lika många x eller y mellan ekvation 1 och 2. Dessa ekvationer adderas sedan med varandra och kan räknas ut i en. 
    • Uppnås genom att förkorta eller förlänga x och eller y så att dessa tar ut varandra o kan elimineras.

    Sätt sedan in värdet på den ena okända i en av ekvationerna "in i 1". Då kan den även den andra okända räknas ut sen eftersom du fått värdet på den ena okända.

    Ibland behöver man förkorta/förlänga båda ekvationerna. Ibland behöver man multiplicera med negativt tal. 

    • Tänk på att...
    • När en ekvation ska förlämgas måste ALLA termer i BÄGGE leden multipliceras.

    Håll koll på plus och minus-tecken!
  2. Additionsmetodens HL och VL?
    VL1 + VL2 = HL1 + HL2

    eller

    VL1 + HL2 = HL1 + VL2
  3. Målet för ersättningsmetoden?
    Lös ut en okänd ("gör x ensam") av ekvationerna, vi kallar den den "ekvation 2" i detta exempel. Sätt sedan in det ena ledet i  "ekvation 1" . Tex om du av ekvation 2 fått att y=5x+2 sätter du in det i ekvation 1 som är 3y-4x= 17 blir det 3(5x+2)-4=17 

    • 1) 3y-4x=17
    • 2) y-5x=2
    •       ↓

    • Gör Y ensamt i ekvation 2: y=5x+2
    • Sätter in detta värde för Y i ekvation 1: 3(5x+2)-4x=17


    • Nu kan vi räkna ut värdet för x 
    • 3(5x+2)-4x=17 
    • 15x+6-4x= 17 
    • 11x=11
    • X=1


    • Sedan kan vi räkna ut vad Y ska vara genom att sätta in värdet för x, alltså 1 till en av ekvationerna 
    • Y=5*1+2 
    • Y=7


    Kan testas genom att sätta in värdena du fått i de ovanstående ekvationerna och kontrollera om värdet stämmer med likhetstecknet.


  4. Går ekvationerna  att lösa om de är samma fast skrivna på olika sätt som t.ex.
    x + y = 5
    2x + 2y = 10 ?
    Nej då får man många lösningar. Varje x och y, som uppfyller den första ekvationen, uppfyller även den andra.
  5. Om ekvationerna är samma men har olika värde som t.ex
    .2x – y = 1 och 2x – y = 3 ?
    Går då ej att lösa eftersom de ej uppfyller varandra.
  6. tre ekvationer med tre okända?
    • Additionsmetoden.
    • Slå ihop två av de tre ekvationerna och möblera om lite i leden så att du kan elimera två okända.
    • Alltså möblera genom VL1 + HL1 = VL2 + HL1 och inte  VL1+VL2 = HL1 + HL2 så går det lättare.
  7. Färre ekvationer än antalet variabler?
    Kan ibland gå att lösa ändå. Frågan är då ofta formulerad på ett sådant sätt att man t.ex. kan "slå ihop" två variabler till en och man därmed kan lösa uppgiften med färre ekvationer än antalet variabler.


    Anna, Bengt och Carl har ett antal äpplen tillsammans. Hur många äpplen har Anna?

    • (1) Bengt och Carl har 3 äpplen tillsammans
    • (2) De tre vännerna har tillsamamns 5 äpplen.


    Vi kan från denna information skriva ekvationerna

    B + C = 3

    A + B + C = 5

    Vi ser då att vi har tre obekanta men endast två ekvationer. Eftersom frågan dock handlar om värdet på A och inte värdet på alla tre obekanta kan vi ändå lösa uppgiften.

    A + (B + C) = 5

    A + (3) = 5

    A = 5 - 3 = 2

    Anna har således 2 äpplen och uppgiften går att besvara. Däremot kan vi inte besvara hur många äpplen Bengt eller Carl har.

    Ekvationssystemet är som helhet olösligt men den specifika uppgiften med "fällan" går att lösa.

    _________________________________


    Exempel på liknande uppgift men som INTE går att lösa:

    Apel, Benjamin och Ceasar är tre syskon. Hur gammal är Apel?

    • (1) Syskonens summerade ålder är 142 år.
    • (2) Summan av Apels och Benjamins åldrar är 123 år.


    Vi får fram två ekvationer ur påstående ett och två. Vi kan skriva Apels ålder som A, Benjamins ålder som B och Ceasars ålder som C.

    • (1) A + B + C = 142
    • (2) A + B = 123

    Som vi ser kan vi inte få fram Apels ålder hur vi än vrider och vänder på ovanstående ekvationer. I detta fall stämmer det att vi behöver tre ekvationer eftersom vi har tre okända.
  8. Ekvationer mer fler än en lösning?
    T ex: x - 8 = x - 8 har oändligt många lösningar.


    Det är mycket vanligt att ekvationssystemen på HP har mer än en lösning. Om du till exempel har en uppgift som handlar om kulor och du räknar ut att det endast kan finnas 2 eller 4 svarta kulor i påsen har du inte löst uppgiften och det korrekta svarsalternativet är i det fallet E ej genom de båda påståendena på NOG eller D informationen är otillräcklig på KVA.
  9. Vad är direkt proportionalitet?
    • y=kx
    • Varje fördubbling i x leder till fördubbling i y.
    •  
    • Blanda ej ihop med att för varje steg i x ökar y lika mycket. Det sistnämnda gäller för alla räta ekvationer av typen y = kx + m. Dessa linjer är proportionella men inte direkt proportionella eftersom för varje steg i x sker inte en fördubbling av y.

    Omvänd proportionalitet = y minskar med samma takt som x ökar. Skrivs  chart?chf=bg,s,00000000&cht=tx&chl=y%3D%5Cfrac%7Bk%7D%7Bx%7D&chs=84x60
  10. Vad gäller för y=kx+0 ?
    • Skär alltid vid origo, M=0 och har alltså punkten 0,0
    • Linjen är rät
    • Proportionerlig: fördubbling av x leder till fördubbling av y. T.ex. äpplen per kg. x är vikt, y är kostnad. 15 kr = 1 kg, 30 kr = 2 kg osv.....
  11. Formel för riktningskoeffecienten (k-värdet)
    K-värdet räknas genom att man har två punkter  t ex (1;4) och (6;14) längs en linje och sen räknar

     chart?chf=bg,s,00000000&cht=tx&chl=%5Cfrac%7By_2-y_1%7D%7Bx_2-x_1%7D%3D%20k-varde&chs=278x68

    tex

    chart?chf=bg,s,00000000&cht=tx&chl=%5Cfrac%7B14-4%7D%7B6-1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B10%7D%7B5%7D%20%3D%20K-varde&chs=356x66

    K= linjens lutning

    Är (minst) två punkter kända på linjen kan k bestämmas genom att dividera förändringen i y-led med förändringen i x-led.
  12. K = 0 ?
  13. Linjen är horisontell och parallell med x-axeln.
    • Ekvationen uttrycks y=0*x+m → y = m
    • har ingen lutning
  14. Linje 1 har k-värde 5 och är parallell med linje två. Vilket k-värde har linje 1?
    Samma som linje ett ty parallella linjer har alltid samma k-värde.
  15. k ?
    linjens lutning
  16. Om vi har värdet 7 på y och söker x för ekvationen y=2⋅x+3
    • 7=2x+3  skrivs chart?chf=bg,s,00000000&cht=tx&chl=x%3D%5Cfrac%7B7-3%7D%7B2%7D&chs=130x66
    • av någon anledning för att y minskar alltid med m dividerat med k chart?chf=bg,s,00000000&cht=tx&chl=y%3D%5Cfrac%7Bk%7D%7Bx%7D&chs=84x60
  17. att tolka riktiningskoeffecienten k
    k i ekvationen y=k⋅x+m beskriver linjens lutning och kallas för riktningskoefficient.

    • Ju högre k-värde desto större lutning på linjen.
    • Positivt k-värde: linjen rör sig mot övre högra hörnet  ↗
    • Negativt k-värde: linjen rör sig mot nedre högra hörnet. ↘
  18. När skär en rät linje x-axeln?
    När y=0
  19. När skär en rät linje y-axeln?
    • När x=0
    • Då m=0. Då går linjen går genom origo
    • M-värdet är detsamma som när linjen skär y-axeln. Är m=7 betyder det att linjen skär y vid 7.
  20. Vad innebär k=0
    linjen är rak, horisontell samt parallell med x-axeln
Author
sollanbollan
ID
321468
Card Set
Ekvationer
Description
Högskoleprovet
Updated