Mathe Arbeit 25.5.16

  1. Exponentielles Wachstum Formel
    • Die Größe G mit dem Startwert G 0 ändert sich in jedem Schritt mit dem Faktor b .Ist der Faktor b > 1, nimmt die Größe zu. Gilt für den Faktor 0 < b < 1, nimmt die Größe ab.
    • Rekursionsformel:
    • G n + 1 = b * G n 
    • Explizite Formel:
    • G n = G 0 * b n
  2. Maximale und minimale Punkte auf dem Graph.
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  3. Extremstellen finden
    • Wir suchen also die Stelle, an der die Ableitung von positiv zu negativ wechselt, also die Nullstelle der Ableitung.
    • 2. Ableitung darf nicht Null sein.
  4. Hochpunkt oder Tiefpunkt?
    • 1. Methode: Vorzeichenvergleich (auch: Vorzeichenwechselkriterium)
    • 2. Methode: Zweite Ableitung überprüfen
  5. Hochpunkt
    • Kriterium für einen Hochpunkt:
    • 2. Ableitung muss negativ sein (1. Ableitung fällt, 2. Ableitung ist negativ).
  6. Tiefpunkt
    Kriterium für einen Tiefpunkt: 2. Ableitung muss positiv sein (1. Ableitung steigt, 2. Ableitung ist positiv).
  7. Extremwertaufgaben, die als Textaufgaben formuliert sind, werden in folgenden Schritten gelöst
    • 1. Stelle die Aufgabensituation, wenn möglich, in einer Skizze dar.
    • 2. Schreibe auf, was gegeben und was gesucht ist. Gib den Ausgangsgrößen und Unbekannten passende Namen (a, x, q, A, F, Vusw).
    • 3. Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten.
    • 4. Erkenne die Nebenbedingung. Die Wahl der zu bestimmenden Größen muss durch die Aufgabe in irgendeiner (evtl. versteckten) Weise eingeschränkt sein. Formuliere die Nebenbedingung als mathematischen Ausdruck.
  8. Hat man die Zielfunktion, die meist aus mehreren voneinander unabhängigen Variablen besteht und die Nebenbedingungen, die die voneinander unabhängigen Variablen zueinander in Beziehung setzt, formuliert, dann kommt die Differentialrechnung zur Anwendung
    Drücke mit Hilfe der Nebenbedingung alle Variablen durch eine fest gewählte Variable aus.Setze die Nebenbedingungen in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht.Bestimme Maximum oder Minimum der Zielfunktion durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung oder Untersuchung des Vorzeichenwechsels der ersten Ableitung an der Nullstelle der ersten Ableitung.Ein lokales Maximum liegt vor, wenn die zweite Ableitung an der Nullstelle kleiner als 0 ist oder die erste Ableitung an der Nullstelle einen - / + Vorzeichenwechsel hat. Entsprechend liegt ein lokales Minimum vor, wenn die zweite Ableitung an der Nullstelle größer als 0 ist oder die erste Ableitung an der Nullstelle einen + / - Vorzeichenwechsel besitzt. Man beachte dabei den möglicherweise durch die Aufgabenstellung implizit eingeschränkten Definitionsbereich (z.B. ist eine negative Länge sinnlos) und die Ränder des Definitionsbereichs. Es sind Situationen denkbar, in denen zwar im Definitionsbereich ein lokales Extremum vorliegt, aber die Zielfunktion ihr absolutes Extremum am Rand des Definitionsbereichs annimmt. Diese Werte findet man in der Regel nicht durch Differenzieren. Die Ränder müssen gesondert geprüft werden: durch Einsetzen der Randwerte in die Zielfunktion und Vergleich des Funktionswertes mit dem lokalen Extremum. Bei Extremwertaufgaben gibt es immer eine Zielfunktion, deren Wert maximiert/minimiert werden soll und eine Nebenbedingung, die die Wahl der Variablen in der Zielfunktion beschränkt.
Author
Liam0909
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320376
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Mathe Arbeit 25.5.16
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Für mathe arbeit
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