ViP A 5

• Freiformkurve, benannt nach dem Ingenieur Bézier
• Vorgehensweise:
• beliebig gekrümmte Kurve wird über Stützstellen definiert, die ein Polygon aufspannen!
• Polygon entsteht durch geradlinige Vebindungen der Stützstellen unter Berücksichtgigung der numerierten Reihenfolge
• Approximationsverfahren an Polygonzug, unter Ableitung des Bernsteinpolynoms!

• Als Bézier-Kurve oder Bézier-Polynom vom Grad n wird eine Kurve verstanden, die folgender Parameterdarstellung genügt:
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• Sie erlaubt eine einfache Definition durch Vorgabe der Stützpunkte des definierenden Polygons. Es ist nicht nötig Tangentenvektoren zu definieren
• Die Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Polygons und gibt dessen Formeigenschaften gut wieder. Daher kann die Kurve in wenigen Iterationsschritten (Verschieben der Stützpunkte) leicht in gewünschter Form konstruiert werden
• Es entstehen stetige und glatte Kurven

• Der Grad der Kurve und damit auch der Rechenaufwand sind abhängig von der Anzahl der Stützstellen
• Bei der Verschiebung einer Stützstelle verschiebt sich die ganze Kurve außer den Randpunkten. Lokale Änderungen sind also nicht direkt möglich, sondern erfordern eine vorhergehende Segmentierung der Kurve, was zusätzlichen Aufwand für die Erhaltung gewünschter Eigenschaften an den Übergängen zwischen den Segmenten nach sich zieht.

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• Verschiebung eines Punktes
• Kurve ändert sich global

• Basis-Splinekurve
• approximierende Kurven, die über ein Polygon von Stützpunkten definiert sind
• Neben Stützpunkten erlaubt diese Kurvendarstellung Einflussnahmen auf die Kurvenform mittels sogenannten Knoten- und Gewichtungsvektoren, insbesondere für lokale Modifikation

• Ein Basis-Spline der Ordnung k ist abschnittsweise definiertes Polynom vom Grad (k-1), das an den knoten (k-2)-mal stetig differenzierbar ist.
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• mit
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• :Stüzzstellen (Vektoren!)
• :Gewichtsfaktoren
• : Bindefunktion

• rationaler B-Spline
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• URBS: Wird der Knotenvektor äquidistant gewählt (d. h. gleiche Differenz zwischen den Knotenwerten t_i), so wird von uniformen Basis-Splines (kurz URBS, Uniform Rational Basis Spline) gesprochen
• NURBS: Werden die Knotenvektoren nicht äquidistant gewählt, so wird von nicht uniformen Basis-Splines (NURBS, Non Uniform Rational Basis Spline) gesprochen

• Zusätzliche Möglichkeiten der Modifikation durch Gewichtungs- und Knotenvektoren
• Einfache lokale Modifikation der Kurve durch Verschieben der Stützpunkte des definierenden Polygons. Bei einem Basis-Spline vom Grad k wirkt sich die Verschiebung einer Stützstelle nur auf k Kurvensegmente aus (nicht etwa auf die ganze Kurve wie bei Bézier). Im häufig verwendeten Fall k = 3 ändert sich die Kurve bei Verschiebung einer Stützstelle nur im Segment an der Stützstelle und den direkt rechts und links angrenzenden Segmenten
• Die Interpolation eines bestimmten Punkts kann erzwungen werden. Für den Anfangs- und Endpunkt wird im Knotenvektor der Knotenwert (0 bzw. 1) k-mal eingetragen. Für andere Punkte wird eine (k-1)-fache Stützstelle im entsprechenden Punkt definiert
• Durch die zusätzlichen Modifikationsmöglichkeiten werden weniger Stützstellen für das definierende Polygon benötigt. Weiterhin ist der Grad des Approximationspolynoms unabhängig von der Anzahl der Stützstellen
• Bei entsprechender Wahl der Gewichtungen können Kegelschnitte konstruiert werden, was ohne Gewichte nicht möglich ist.

• ähnlich der Beschreibung parametrischer Kurven, jedoch erweitert auf Flächen!  
• => 2 Laufvariablen: u und v
• Eckpunkte: 0. Ableitung
• Tangentenvektoren: 1. Ableitung nach u und v
• Twistvektoren: 2. Ableitung nach u und v

Bei so genannten Patches handelt es sich um Flächenstücke, die in Abhängigkeit zweier Richtungsparameter u und v mit Hilfe von Eckpunkten und Richtungsvektoren definiert werden. Es werden verschiedene Arten von Patches definiert (z. B. 3-, 4- und 5-eckige)

• beruht auf Hermite-Interpolation
• Flächenrandlinien als Freiformkurven definiert und Flächenpunkte interpoliert
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Die Bézier-Flächen basieren auf der gleichen Mathematik und ihre Definition und Modifikation auf den gleichen Verfahren wie die Bézier-Kurven. Analog zur Approximation der Kurve durch ein mit Stützstellen (Bézier-Punkte) definiertes Polygon (Bézier-Polygon) erfolgt nun die Approximation der Fläche durch ein mit Stützstellen definiertes Polygonnetz. Das Netz besteht aus mehreren im Raum definierten Bézier-Polygonen, die sich in gemeinsamen Stützpunkten schneiden und die grobe Form der zu approximierenden Fläche vorgeben.

Auch für die Basis-Splineflächen gilt, dass die Flächenbeschreibung aus der Kurvenbeschreibung entwickelt wird. Es wird ein zweiter Richtungsparameter v eingeführt und entlang der beiden Richtungen u und v ein Stützpolygon aufgespannt. Es erfolgt die Approximation der Polygone durch Basis- oder Bindefunktionen und entsprechend die Approximation der räumlich gekrümmten Fläche

• Parametrische Kurven: Hermite, Bézier, B-Spline
• Parametrische Flächen: Patches (Gordon-Coons), Bézier-Fläche, B-Spline-Fläche (NURBS)