Konstruktiver Leichtbau Kapitel 3

• ETT= Elementare Torsions Theorie
• Lösbar sind:
• ● dünnwandige geschlossene (Stab-) Hohlprofile
• ● Wellen mit Kreis und Kreisringquerschnitt (dickwandig)
• ● näherungsweise: dünnwandige offene Querschnitte
• Voraussetzungen
• ● Gerade Stabachse
• ● keine Biege-Torsions-Kopplung (Torsion in stabachse)
• ● keine Querschnittsverformungen (starre Rippe)
• ● Verformungen klein (geometrische Linearität) und
• ● Werkstoffe mit linearem Elastizitätsgesetz also Superpositionsprinzip anwendbar

• Verformung eines Profilquerschnittes so dass Querschnittspunkte aus der ursprünglichen Querschnittsebene heraustreten und zwar so, dass keine Ebene mehr aufspannbar ist
• -> Bernoulli Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte ist dann nicht mehr gültig

• 1. Saint Venantsche Torsion aka reine/primäre Torison,
• ● Zwangsfreie Drillung
• ● Verwölbung (kann sich frei einstellen) unbehindert => keine Längsspannungen
• 2. Wölbkrafttorsion
• ● Verwölbung geometrisch behindert
• ● Längsspannungen (sog. Wölbspannungen) treten auf
• ● allgeinerer Fall, schließt 1 ein
• beide gehören zur ETT. Deren Voraussetzungen siehe 2

• Eine Momentenäquivalenz aus äusserem Moment und den Schubflüssen (in einer Schnittfläche)
• MT = 2 Am*nxs
• Herleitung:
• Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Wandelement
• Schubspannungen in der Schnittfläche nur in Umfangsrichtung wurde angenommen
• => Schubfluss über den Umfang konstant
• Integration über den Umfang => I. Bredtsche Formel

• Der Schubfluss nxs ist Konstant über den Querschnitt
• daraus folgt: maximale Schubspannung an Stellen mit mimimaler Wandstärke
• τ(s)= nxs /t(s)
• vgl. Hydrodynamische Analogon
• In einem Rinkanal ist die Strömungsgeschwindigkeit bei kleinster Breite am größten.

• Geschlossene dünnwandige Stäbe deren Mantelflächen konisch zulaufen und sich in einem Punkt schneiden.
• Also Kegel / Kegelstumpf ja aber Keil mit Rechteckquerschnitt nicht
• Bei anderen Profilen trifft Annahme der Wölbfreiheit und des konstanten Schubflusses nicht zu

• Verdrehung: Winkeländerung eines Querschnitts (Bezeichnung υ=Theta)
• Verdrillung = Verwindung: Änderung des Verdrehwinkels über eine Stablängeneinheit
• Ableitung von Theta nach Stablängskoordinate x
• also eine bezogene geometrieabhängige Verformungsgröße ähnlich der Dehnung
• wenn υ'=const dann ist υ(x) = υ'*x

• Achtung: Kreisquerschnitt nicht dünnwandiger Kreisring
• Linear mit dem Radius nach außen zunehmend τ(r)= k*r
• Maximale Spannung tritt also am Rand auf.
• Konstante k kann aus I. Bredscher Formel (Momentenäquivalenz) berechnet werden.
• (Aus linearer Verformungshypothese: Punkte die auf einer Gerade in Profillängsrichtung lagen sollen auch in verformten Zustand auf einer Geraden liegen.)

• bei beliebigen Profilen (außer kreis) entsteht unter Torsion Verschiebungen u in x Richtung aka Wölbung
• Entwicklung aus Verschiebungen und Verzerrungen des infinitesimale Flächenelement
• \delta v / \delta x +\delta u / \delta s

• I. Bredt´sche Formel liefert Zusammenhang zwischen konstanten Schubfluss über einen Querschnitt und dem äusseren Moment
• MT = 2 Am*nxs
• II. Bredt´sche Formel liefert Zusammenhang zwischen Verdrillung und Moment
•  mit G (schubmodul = konst)
• kommt aus Wölbfunktion und der Bedingung
• dass der Querschnitt nicht auseinanderklaffen darf

• Den Widerstand den ein Profil der Torsion entgegensetzt
• Verhältniszahl zwischen Moment und Verdrillung
• Nenner der II Bredtschen Formel
• G*I_T Produkt aus Schubmodul G und Torsionsmoment
• Flächenträgheitmoment aka Flächenträgheitsmoment 2.Ordnung

• Geometrie des Bauteils und Werkstoff
• Geometrie umschlossene Fläche geht quadratisch, die Wanddicken linear in T ein
• Der Schubmodul geht linear ein.

• Bei den geschlossenen Profilen
• ● Kreis
• ● Quadrat
• ● alle Dreieck
• ● Polygone mit innerem Tangentenkreis
• ● spezielle Rechtecke mit ta/tb=b/a (kurze seite dickwandig, lange dünnwandig)
• von den offenen Profilen
• ● X T L Profil
• da sie jeweils nur zwei Geraden enthalten die immer eine Ebene aufspannen => definitionsgemäß keine Verwölbung möglich.
• UZI haben 3 geraden => besitzen Wölbwiederstand (Z am höchsten)

• Das Profil wird als Zusammensetzung aus dünnwandigen geschlossenen Profilen gedacht
• (Zwiebelschalenprinzip :-) )
• die dünnwandigen Rechteckprofile werden in ineinanderstehende geschlossenne Profile zerlegt
• Alle müssen gleiche Drillung erfahren (Kompatibilitätsbedingung)
• => lineare Spannungsverteilung über den Querschnitt
• Das Torsionsflächenmoment des dünnwandigen offenen Querschnitts ist von der Geometrie unabhängig !
• Bestimmend ist der Querschnitt, der sich einfach als Summe der Gesamtquerschnitte ergibt.
• IT= l*t³/3
• Maximale Schubspannungen treten aussen an den Stellen mit größter Wanddicke auf.

• Durch aufsummieren der einzelnen Torsionsflächenmomente und die Verwendung von Korrekturfaktoren für die Profilform.
• Die Korrekturfaktoren repräsentieren dabei die Verformungsbehinderungen an den Verzweigungen und Ecken des Querschnitts
• Sie haben Werte von 0,99 für L-Profil bis 1,3 für I-Profil

• bei Torisonsbelastung:
• 1. Momentengleichgewicht (=Statik) (1.BretscheFormel summe)
•  summe aller Momente
• 2. Gleichgewichtsbedingungen:
• \vartheta'_1 = \vartheta'_2=...
• (dirk braucht das nicht)3.Werkstoffgesetze:

• Offenes Profil
• ● Torsionsspannung viel größer
• ● Querschnittsfläche bestimmt Torsionssteifigkeit
• ● Lineare Spannungsverteilung über Dicke der Wandung
• ● größte Spannungen aussen an dickwandigster Stelle
• Geschlossenes Profil
• ● Torsionsspannungen geringer
• ● Umschlossene Fläche bestimmt Torsionssteifigkeit
• ● Größte Schubspannung an dünnster Stelle
• ● konstante Schubspannung über die Wandstärke
• ● Für Torsion verwenden !
• ● Aber Vorsicht: Gefahr bei Fügungsversagen => Profilöffnung=> Totalversagen der Struktur

• Berechnung für dünnwandige schlanke Rechteck-Querschnitte wird verwendet
• und mit Korrekturfaktor versehen
• Korrekturfaktor hängt von h/b ab
• beliebige Vollquerschnitte werden mit Abschätzformel nach Saint-Venant gerechnet

• Sie gilt nicht für:
• ● Hohlquerschnitte
• ● Profile mit konkav brandeten Querschnitten (keine einfallende Ecke)

• Hydrodynamische Analogon
• ● Stationäre Rotationsströmung in einem Gefäß mit Querschnittsform wird betrachtet
• (bei Hohlquerschnitten Ringkanal)
• ● Geschwindigkeit v entspricht der Spannung
• ● Stromlinien entsprechen Linien konstanter Spannungen
• Nützlich primär zu Veranschaulichung
• Führt auf Gestaltungsregel: Ecken abrunden durch Vergleich mit Totwassergebiet an Ecken.
• Seifenhautgleichnis
• ● Ein Behälter unter Innendruck hat ein Loch in Profilform über das eine Seifenhaut gespannt ist
• ● Verschiebung der Seifenhaut proportional der Torsionsfunktion
• ● Volumen unter der Seifenhaut proportional Torsionsflächenmoment, bei zweifacher Berandung ist das Volumen unter der verschieblichen Platte mitzurechnen (siehe Bilder im Skript 3.10.2)
• ● Die Neigung der Seifenhaut entspricht der Größe Schubspannungen
• ● Die Niveaulinien geben Linien gleicher Schubspannung wieder
• Ebenfalls für Anschauung nützlich aber auch:
• Quanitative Werte erhält man, wenn sich im gleichen Gefäß – d.h. unter exakt gleichem Innendruck – eine öffnung mit einem analytisch exakt lösbaren Querschnitt befindet z.B. Kreisprofil

• ● Längsspannungen die bei Wolbungsbehinderungen auftreten
• ● Eigenkraftgruppen d.h. die Summe der Schnittkräfte über der Querschnitt ist 0
• ● Erklärbar als Kräfte die versuchen die freie Verwölbung einzustellen Wölbungsbehinderung kann auftreten durch
• ● Einspannung oder Krafteinleitung
• ● Querschnittsänderungen
• ● Streckentorsionsmomente
• ● Änderung des Werkstoffs

eventuell Seite59

59

• Wölbsteifigkeit = E*CW
• mit E = Elastizitätsmodul = Werkstoffabhängigkeit
• und CW Wölbwiderstand = Geometrieabhängigkeit
• Bild S. 49 Skript
• TW = - υ'''*E*CW

Vom Verhältnis zwischen Wölbsteifigkeit E*CW und Torsionssteifigkeit G*ITGroßere Wölbsteifigkeit->größere Wölbschlankheit->Größere Wölbkrafttorsion (langsameres Abklingen über die Profillänge)An einer konkreten Stelle ist sie abhängig vom Abstand zur Einspannstelle und dem Verhältnis der Materialkennwerte E/G

• Solche die keine Verwölbung zeigen
• Bei den geschlossenen Profilen
• ● Kreis
• ● Quadrat
• ● gleichseitiges Dreieck
• ● Polygone mit innerem Tangentenkreis
• ● spezielle Rechtecke mit ta/tb=b/a (kurze seite dickwandig, lange dünnwandig)
• von den offenen Profilen
• ● X
• ● T-
• ● L-Profil
• da sie jeweils nur zwei Geraden enthalten die immer eine Ebene aufspannen => definitionsgemäß keine Verwölbung möglich.(bei geschlossenen Profilen ist die Verwölbung oft vernachlässigbar da Wölbspannung rasch abklingt wegen des hohen Torsionswiderstandes)

• Torsionssteif:
• geschlossenes Profil, optimal Kreisprofil
• sonst
• offenes Profil mit hoher Wölbsteifigkeit, optimal Z-Profil
• offenes Profil möglichst Lokal schließen: Torsionskasten, Torsionsröhrchen
• Torsionsweich:
• offenes Profil, am besten wölbfreies
• sonst
• geschlossenes Profil mit möglichst geringer umschlossener Fläche
• S.54 Skript

• diagonalrippen
• Kreisrohre als krafteinleitung an den Seiten

zug oder druck

• Schubfluss in dem einzelnen Zellen konstant, in den Stegen Differenz der Schubflüsse der einzelnen Zellen,
• Rechenweg:
• aus Statik Momentengleichgewicht Gesamtmoment= Summe der Momente der Einzelzellen
• Elastostatik: II.Bredt´sche Formel liefert jeweilige Drillung in Abhängigkeit vom Moment
• Kompatibilitätsbedingung: Drillung der Zellen muss gleich sein
• => Gleichungssystem mit n Gleichungen für n Schubflüsse = lösbar
• Materialgesetz steckt in 2. Bredt´scher Formel

U, Z, I Profile

• Mit Zähler Wölbsteifigkeit und Nenner Torsionssteifigkeit
• Kapitel 4 Schub im dünnwandigen Balken infolge Querkraft