Definitionen Mengenlehre

  1. Naiver Mengenbegriff (2.1.1)
    Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.
  2. Mengen- und Elementbegriff (2.2.1)
    Es sei M eine Menge, also eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.

    Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man: x ∈ M .

    Man schreibt x ∉ M , falls x nicht ein Element von M ist.
  3. Leere Menge (2.3.1)
    Die Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit ∅ oder mit {} bezeichnet.
  4. Gleichheit von Mengen (Extensionalitätsprinzip - 2.4.1)
    Zwei Mengen M1 und M2 heißen ”gleich“, (genau dann) wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Mit anderen Worten:

    • 1. Jedes Element von M1 ist Element von M2. 
    • und
    • 2. Jedes Element von M2 ist Element von M1.
  5. Teilmenge (2.4.2) & "echte" Teilmenge
    Eine Menge M1 heißt ”Teilmenge“ der Menge M2, wenn jedes Element von M1 auch Element von M2 ist. Man schreibt dann: M1 ⊆ M2 .

    Die Tatsache, dass M1 nicht Teilmenge von M2 ist, wird durch M1 ⊈ M2 ausgedrückt.

    Falls M1 ⊆ M2 und M1 ≠ M2 heißt M1 ”echte Teilmenge“ von M2. Man verwendet hierfür die Schreibweise M ⊊ M
  6. Potenzmenge (2.5.1)
    Die ”Potenzmenge“ P(M) einer Menge M ist die Gesamtheit aller Teilmengen von M, einschließlich der leeren Menge und der Menge selbst.

    P(M) = {x|x ⊆ M}
  7. Mächtigkeit einer Menge (2.5.2) & Potenzmenge
    Es sei S eine Menge mit endlich vielen Elementen. Die Anzahl der Elemente, auch ”Kardinalität“ oder ”Mächtigkeit“ genannt, schreibt man |S|.

    Mächtigkeit der Potenzmenge: |P (M)| = 2^n
  8. Durchschnitt zweier Mengen (2.6.1)
    Der Durchschnitt S ∩ T zweier Mengen S, T ist die Menge, die aus allen Elementen besteht, die zu S und zu T gehören.

    S∩T ={x|x∈S ∧ x∈T}
  9. Disjunkte Mengen (2.6.2)
    S und T heißen "disjunkt" oder "elementfremd", falls S ∩ T = ∅
  10. Vereinigung zweier Mengen (2.6.3)
    Die "Vereinigung" zweier Mengen S und T ist die Menge aller Elemente, die zu S oder zu T gehören.

    S∪T ={x|x∈S ∨ x∈T}
  11. Mengendifferenz (2.6.4)
    Die "Differenz" zweier Mengen S und T ist die Menge aller Elemente von S, die nicht zu T gehören.

    S T = {x|x∈S ∧ x∉T}
  12. Symmetrische Differenz (2.6.5)
    Die "symmetrische Differenz" zweier Mengen S und T ist die Menge aller Elemente, die zu genau einer der beiden Mengen S und T gehören.

    S∆T ={x|(x∈S ∧ x∉T) ∨ (x∉S ∧ x∈T)}
  13. Komplement einer Menge (2.6.6)
    Sei S ⊆ M, eine Teilmenge einer festen Grundmenge M (das Universum). Das "Komplement" S von S in M ist die Menge aller Elemente von M , die nicht in S liegen.

    S = M \ S = {x|x∈M und x∉S}
  14. Geordnete Paare (2.7.1)
    Es seien a1 und a2 beliebige Objekte, (a1, a2) heißt geordnetes Paar. Zwei geordnete Paare sind gleich:

    (a1,a2)=(b1,b2) ⇔ (a1=b1 ∧ a2=b2)
  15. Kartesisches Produkt (2.7.2)
    Das "Kartesische Produkt" zweier Mengen S und T ist die Menge aller geordneten Paare.

    S×T ={x|Es gibt y∈S und z∈T, so dass x=(y,z)}
  16. N-Tupel (2.7.3)
    Es seien x1, x2, x3, . . . , xn beliebige Objekte. Das geordnete ”n-tupel“ ist das Objekt (x1,x2,x3,...,xn). Zwei geordnete n-tupel (x1,...,xn) = (y1,...,yn) sind gleich, wenn x1 =y1 und x2 =y2 und...und xn =yn


    Das kartesische Produkt von n Mengen M1, . . . , Mn ist definiert durch:

    M1×M2×···×Mn = {(x1,x2,...,xn)|x1∈M1 ∧ x2∈M2 ∧···∧ xn∈Mn}
Author
JohannesKollien
ID
314834
Card Set
Definitionen Mengenlehre
Description
Definition für die Mengenlehre nach dem Skript von Zimmermann
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