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So ist der Erwartungswert linear in Konstanten
E[a+bX] = a+bE[X].
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Die Varianz ist nicht linear, hier gilt vielmehr
Var[a + bX] = b2 Var[X]
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Für Summen von Zufallsvariablen gilt dann
Var [aX + bY]
a2 Var [X] + 2ab · Cov [X,Y] + b2 Var [Y]
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Eine Funktion f (x) heißt stetig, wenn für jeden Wert x0 folgendes
gilt
- Geht also das Argument x gegen eine Zahl x0, so muss auch der
- Funktionswert f (x) gegen den Funktionswert f (x0) laufen. Nicht
- stetige Funktionen weisen, wenn man sie in Diagrammen darstellt,
- Sprungstellen auf.
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Eine Funktion f (x) heißt differenzierbar, wenn für jeden Wert x
- die erste Ableitung f ′(x) existiert. Differenzierbare Funktionen
- sind immer stetig. Eine typische nicht differenzierbare Funktion
- ist die Betragsfunktion |x|, an der Stelle x = 0 kann man keine
- Ableitung bilden.
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Eine Funktion f (x) heißt (strikt) monoton wachsend
- wenn für
- zwei Werte x > y immer
f(x) ≥ f(y) (bzw.) f(x) > f(y)
- gilt. Wenn eine Funktion monoton und differenzierbar ist, dann gilt
- zudem f′(x) ≥ 0. Wenn man monotone Funktionen in Diagrammen
- darstellt, so muss der Funktionsverlauf entweder wachsend oder
- fallend sein.
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Eine Funktion f (x) heißt konkav (konvex), wenn für zwei Werte
- x > y die Verbindungsgerade zwischen beiden Funktionswerten
- unterhalb der Funktion verläuft. Verbindet man x mit y, so können
- die dazwischen liegenden Funktionswerte durch den Term f (x) +
- ( f (y) − f (x))t für t ∈ [0,1] beschrieben werden. Also muss für
- konkave Funktionen gelten
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Wenn eine Funktion konkav und differenzierter ist, dann gilt f′(x)
- ist monoton fallend in x. Wenn eine Funktion konkav und zweimal
- differenzierbar ist, dann gilt f ′′(x) ≤ 0.
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Produktregel
(g · h)′
= g′ · h + g · h′
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Quotientenregel:
(g/h)´
=(g'h - gh') / h2
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Potenzregel:
(xn)′ = nxn−1
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Kettenregel
(g ◦ h)′(x) = (g(h(x)))′ = g′(h(x)) · h′(x)
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partielle integration
∫uv´ = u.v - ∫u´v
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