6. Vektor- oder Mehrkriterienoptimierung

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Was ist der Unterschied zur bisherigen Formulierung?
- bisher: Minimierung einer Zielfunktion
- jetzt: gleichzeitige "Minimierung" von Zielfunktionen
- Zielfunktionenvektor
Nennen Sie ein praktisches Beispiel für eine solche Aufgabe.
- Bei einer Tragwerksstruktur sollen möglichst das Gewicht, bestimmte Verformungen und die Gesamt-Herstellungskosten gleichzeitig "minimal" werden.
- Vektor- oder Mehrkriterienaufgabe:
- Vektor der Zielfunktionen
- Vektor der Gleichheitsrestriktionen
- Vektor der Ungleichheitsrestriktionen
Was ist meist das Problem bei solchen Aufgaben?

Es existiert im Allgemeinen kein Entwurfsvariablenvektor , für den alle Zielfunktionen gleichzeitig ihr individuelles Minimum annehmen. meistens "Zielkonflikt"
Wie werden Vektoroptimierungsprobleme üblicherweise gelöst?
- Durch Zurückführung auf skalare Ersatzprobleme mittels sogenannter Präferenzfunktion :
- Das Problem ist ein Ersatzproblem für ein Vektoroptimierungsproblem, wenn es ein Pareto-Optimum gibt mit der Eigenschaft:
- heißt dann Präferenzfunktion oder Ersatzfunktion.
- Die Lösung des Ersatzproblems liefert jeweils ein Pareto-Optimum.
Was kennen Sie für Möglichkeiten zur Bildung eines Ersatzproblems?
- Methode der Zielgewichtung
- Methode der Restriktionsformulierung
- Methode der Abstandsfunktionen
- Min-Max-Formulierung
Wie funktioniert die Methode der Zielgewichtung?
- Präferenzfunktion aus der Summe der mit Wichtungsfunktionen versehenen einzelnen Zielfunktionen
- mit und
- Durch Variation der Wichtungsfaktoren Erzeugung verschiedener Pareto-Optima.
Wie funktioniert die Methode der Restriktionsformulierung?
- Minimierung nur einer Zielfunktion ("Hauptziel") und Beschränkung der übrigen Zielfunktionen ("Nebenziele") nach oben durch entsprechende Ungleichheitsrestriktionen.
- z.B. mit und
- wichtig: Wahl geeigneter Schranken !
Wie funktioniert die Methode der Abstandsfunktionen?
- Vorgabe eines Anspruchsniveauvektors von möglichst zu erreichenden Zielfunktionswerten und Minimierung des "Abstands" zu diesem Anspruchsniveauvektor.
- wobei
- wichtig: geeignete Wahl des Anspruchsniveauvektors
Wie funktioniert die Min-Max-Formulierung?
- Zunächst für jede Zielfunktion getrennte Bestimmung der individuellen Extrema
- Dann als Optimum des Vektoroptimierungsproblems derjenige Entwurf gesucht, der den kleinsten Wert der relativen Abweichung aller Zielfunktionen ergibt.
- mit
- "beste" Kompromisslösung bei Berücksichtigung aller Zielfunktionen mit gleicher Priorität.