2.2 Mathematische Eigenschaften

  1. Wie lautet die Definition für globale und lokale Minima?
    • Die Zielfunktion f(x) besitzt ein globales Minimum an der Stelle Image Upload 1, wenn Image Upload 2 für alle Image Upload 3
    • Die Zielfunktion f(x) besitzt ein lokales Minimum an der Stelle Image Upload 4, wenn Image Upload 5 für alle Image Upload 6 in einer hinreichend kleinen Umgebung von xImage Upload 7
  2. Wie lautet die Existenzaussage eines globalen Minimum?
    Wenn die Zielfunktion f(x) stetig ist und der zulässige Bereich X abgeschlossen und beschränkt ist, dann gibt es ein globales Minimum in X.
  3. Wie lauten die Aussagen der Konvexität von Teilmengen und Funktionen?
    • Eine Teilmenge X des Image Upload 8 wird als konvex bezeichnet, wenn Image Upload 9 und jede reelle Zahl Image Upload 10 gilt.
    • Eine reellwertige Funktion f(x) auf der konvexen Menge X wird als konvex bezeichnet, wenn Image Upload 11 und jede reelle Zahl Image Upload 12.
  4. Wann bezeichnet man eine Optimierungsaufgabe als konvex?
    • Wenn die Zielfunktion konvex ist.
    • Die Komponenten des Vektor der Ungleichheitsrestriktionen g(x) konvex sind und
    • die Komponenten des Vektors der Gleichheitsrestriktionen h(x) affin-lineare Abbildungen sind.
  5. Was gilt bzgl. der Lösung einer konvexen und einer nicht-konvexen Optimierungsaufgabe?
    • Konvexe Optimierungsaufgaben haben höchstens eine Lösung
    • Nicht-konvexe Optimierungsaufgaben können verschiedene Lösungen haben.
  6. Was versteht man als Optimalitätsbedingungen?
    • Überprüfung der Optimalität, z.B. als Abbruchkriterium
    • Grundlage für iterative Verfahren zur Auffindung von Optimallösungen
  7. Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei restriktionsfreien Problemen?
    • Notwendige Bedingung: Image Upload 13 (stationärer Punkt)
    • Hinreichende Bedingung: Ist 1. erfüllt und die Hesse-Matrix Image Upload 14 positiv definit, dann ist Image Upload 15 ein isoliertes lokales Minimum
  8. Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei Problemen mit Restriktionen?
    • Kuhn-Tucker-Bedingungen (Einführung der Lagrange-Funktion)
    • 1. Image Upload 16 ist zulässig: Image Upload 17 und Image Upload 18
    • 2. Image Upload 19
    • 3. Image Upload 20
    • Für konvexe Probleme sind die KT-Bedingungen auch hinreichend, für nicht-konvexe Probleme nur notwendig.
  9. Wie funktioniert die Bestimmung der KT-Parameter?
    • Image Upload 21 mit m bindenden Restriktionen und n Entwurfsvariablen. Dann gilt:
    • 1. Image Upload 22: LGS mit quadr. Koeffizientenmatrix
    • 2. Image Upload 23 Restriktionsgradienten lin. abhängig
    • 3. Image Upload 24 -Auswahl von m Gleichungen liefert quadr. Koeffizientenmatrix, -KT-Parameter aus Ausgleichsproblem Image Upload 25, -KT-Parameter aus LGS Image Upload 26, -Künstliches Aktivieren von Restriktionen
  10. Welche Formen kann eine Optimierungsaufgabe aus der bisherigen Image Upload 27 annehmen?
    • 1. Maximierung der Zielfunktion Image Upload 28
    • 2. Positive Ungleichheitsrestriktionen Image Upload 29
    • 3. Umwandlung von Ungleichheitsrestriktionen in Gleichheitsrestriktionen (für manche Algorithmen notwendig) durch Einführung einer Schlupfvariable Image Upload 30
    • 4. Oft explizite Aufnahmen von Restriktionen der Art Image Upload 31 in Optimierungsproblem zweckmäßig, wobei Image Upload 32 ein abgeschlossenes Intervall darstellt.
Author
Thorsten662
ID
229854
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2.2 Mathematische Eigenschaften
Description
Fragen zum 2. Kapitel aus dem Skript zur Vorlesung "Strukturoptimierung" an der TU Darmstadt.
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