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Wie lautet die Definition für globale und lokale Minima?
- Die Zielfunktion f(x) besitzt ein globales Minimum an der Stelle , wenn für alle
- Die Zielfunktion f(x) besitzt ein lokales Minimum an der Stelle , wenn für alle in einer hinreichend kleinen Umgebung von x
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Wie lautet die Existenzaussage eines globalen Minimum?
Wenn die Zielfunktion f(x) stetig ist und der zulässige Bereich X abgeschlossen und beschränkt ist, dann gibt es ein globales Minimum in X.
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Wie lauten die Aussagen der Konvexität von Teilmengen und Funktionen?
- Eine Teilmenge X des wird als konvex bezeichnet, wenn und jede reelle Zahl gilt.
- Eine reellwertige Funktion f(x) auf der konvexen Menge X wird als konvex bezeichnet, wenn und jede reelle Zahl .
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Wann bezeichnet man eine Optimierungsaufgabe als konvex?
- Wenn die Zielfunktion konvex ist.
- Die Komponenten des Vektor der Ungleichheitsrestriktionen g(x) konvex sind und
- die Komponenten des Vektors der Gleichheitsrestriktionen h(x) affin-lineare Abbildungen sind.
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Was gilt bzgl. der Lösung einer konvexen und einer nicht-konvexen Optimierungsaufgabe?
- Konvexe Optimierungsaufgaben haben höchstens eine Lösung
- Nicht-konvexe Optimierungsaufgaben können verschiedene Lösungen haben.
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Was versteht man als Optimalitätsbedingungen?
- Überprüfung der Optimalität, z.B. als Abbruchkriterium
- Grundlage für iterative Verfahren zur Auffindung von Optimallösungen
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Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei restriktionsfreien Problemen?
- Notwendige Bedingung: (stationärer Punkt)
- Hinreichende Bedingung: Ist 1. erfüllt und die Hesse-Matrix positiv definit, dann ist ein isoliertes lokales Minimum
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Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei Problemen mit Restriktionen?
- Kuhn-Tucker-Bedingungen (Einführung der Lagrange-Funktion)
- 1. ist zulässig: und
- 2.
- 3.
- Für konvexe Probleme sind die KT-Bedingungen auch hinreichend, für nicht-konvexe Probleme nur notwendig.
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Wie funktioniert die Bestimmung der KT-Parameter?
- mit m bindenden Restriktionen und n Entwurfsvariablen. Dann gilt:
- 1. : LGS mit quadr. Koeffizientenmatrix
- 2. Restriktionsgradienten lin. abhängig
- 3. -Auswahl von m Gleichungen liefert quadr. Koeffizientenmatrix, -KT-Parameter aus Ausgleichsproblem , -KT-Parameter aus LGS , -Künstliches Aktivieren von Restriktionen
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Welche Formen kann eine Optimierungsaufgabe aus der bisherigen annehmen?
- 1. Maximierung der Zielfunktion
- 2. Positive Ungleichheitsrestriktionen
- 3. Umwandlung von Ungleichheitsrestriktionen in Gleichheitsrestriktionen (für manche Algorithmen notwendig) durch Einführung einer Schlupfvariable
- 4. Oft explizite Aufnahmen von Restriktionen der Art in Optimierungsproblem zweckmäßig, wobei ein abgeschlossenes Intervall darstellt.
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