MAT 08. Normované a unitární prostory

• (L, +, 0, -) je komutativní grupa
• L je množina vektorů
• + je vektorový součet
• 0 je nulový vektor
• - je opačný vektor
• (T, +, 0, -, ·, 1) je číselné těleso (množina skalárů)
• k tomu navíc existuje operace násobení vektoru skalárem:
• 1. α(βx) = (αβ)x, α,β ∈ T, x ∈ L
• 2. 1x = x, 1 ∈ T, x ∈ L
• navíc platí distributivita:
• 1. (α + β)x = αx + βx, α,β ∈ T, x ∈ L
• 2. α(x + y) = αx + αy, α ∈ T, x,y ∈ L
• pak L je vektorovým prostorem nad číselným tělesem T

• každému prvku x ∈ L je přiřazeno reálné nezáporné číslo ∥x∥ (norma):
• 1. ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0
• 2. ∥αx∥ = |α|·∥x∥
• 3. ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥

úplný normovaný prostor

vektory x, y, ..., w jsou lineárně závislé ⇔ ∃α, β, ..., λ (aspoň jedno nenulové) takové, že αx + βy + ... + λw = 0

lze najít n lineárně nezávislých vektorů, ale n+1 už je vždy závislých, pak n je dimenze prostoru

libovolný systém n lineárně nezávislých prvků, n je dimenze

• L vektorový prostor
• M ⊆ L je podprostor prostoru L ⇔
• ∀x, y ∈ M, α, β ∈ R: αx + βy ∈ M
• nulový: M = {0}
• vlastní: M ≠ {0} ∧ M ≠ L

• {x_α} libovolná neprázdná množina prvků prostoru L
• lineární obal L{x_α} je průnik všech podprostorů prostoru L obsahujících {x_α}
• minimální podprostor obsahující množinu {x_α}

• reálná funkce (x, y):
• 1. (x, y) = (y, x)
• 2. (x₁ + x₂, y) = (x₁, y) + (x₂, y)
• 3. (λx, y) = λ(x, y)
• 4. (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = 0

• prostor se skalárním součinem
• indukovaná norma: ∥x∥ = √(x, x)

cos φ = (x, y) / (∥x∥ · ∥y∥)

(x, y) = 0

• φ₁, φ₂, ..., φ_n, ... ortonormální systém v unitárním prostoru R
• f je libovolný prvek R
• c_k = (f, φ_k) souřadnice (Fourierovy koeficienty)
• ∑c_kφ_k je Fourierova řada

• ∑c_kφ_k je Fourierova řada prvku f v ortonormálním systému {φ_k} v unitárním prostoru R
• pak ∑c_k² ≤ ∥f∥²

• pro každý prvek f a ortornomální systém {φ_k} v unitárním prostoru R platí Parsevalova rovnost:
• ∑c_k² = ∥f∥²
• tedy posloupnost částečných součtů každé Fourierovy řada konverguje k f

úplný unitární prostor nekonečné dimenze