-
Uzavřenost vzhledem k operaci
- w: A^n → A, T ⊆ A
- T je uzavřená vzhledem k w: w(t_1, ..., t_n) ⊆ T, t_1, ..., t_n ∈ T
-
Podalgebra
- (A, (wi)) algebra
- T ⊆ A, T je uzavřena vzhledem k (wi)
- wi* := wi|Tni
- (T, (wi*)) podalgebra algebry A
-
Podalgebra generovaná množinou
- (A, Ω) algebra, S ⊆ A
- <S> := ∩{T | T ⊇ S, T je podalgebra algebry A}
- nejmenší podalgebra algebry A, která obsahuje S
- S je systém generátorů podalgebry <S>
-
Podgrupa generovaná prvkem
- (G, ·, 1, -1) grupa
- <x> := <{x}> je podgrupa grupy G generovaná prvkem x
-
Cyklická grupa
existuje prvek, který ji generuje (generátor)
-
Rozklad na třídy ekvivalence
- M množina, 2M množina všech podmnožin M
- P ⊆ 2M je rozklad na třídy ekvivalence, pokud:
- 1. ∪C∈PC = M
- 2. Ø ∉ P
- 3. A, B ∈ P ⇒ A = B ∨ A ∩ B = Ø
-
Třída ekvivalence prvku
- M množina, π relace ekvivalence na M, a ∈ M
- [a]π := {b ∈ M | bπa} třída ekvivalence prvku a
-
Faktorová množina
- M množina, π relace ekvivalence na M
- M/π := {[a]π | a ∈ M} faktorová množina množiny M podle relace ekvivalence π
- M/π je rozklad množiny M na třídy ekvivalence
-
Jádro zobrazení
- zobrazení f: M → N
- relace ekvivalence xπfy :⇔ f(x) = f(y) se nazývá jádro f
-
Homomorfismus
- A = (A, (wi)), A* = (A*, (wi*)) algebry téhož typu (ni)
- f: A → A* je homomorfismus A do A* ⇔
- ∀x1, ..., xn ∈ A: f(wi(x1, ..., xn)) = wi*(f(x1), ..., f(xn))
-
Epimorfismus
homomorfismus, f je surjektivní
-
Monomorfismus
homomorfismus, f je injektivní
-
Isomorfismus
homomorfismus, f je bijektivní
-
Endomorfismus
homomorfismus, A = A*
-
Automorfismus
isomorfismus, A = A*
-
Algebraické vlastnosti
zůstávají zachovány při isomorfismu
-
Relace kongruence
- A = (A, (wi)) algebra
- π ⊆ A×A relace ekvivalence
- π je kongruence ⇔
- ∀a1, ..., ani, b1, ..., bni ∈ A:
- a1πb1 ∧ ... ∧ aniπbni ⇒ wi(a1, ..., ani)πwi(b1, ..., bni)
-
Faktorová algebra
- A/π := (A/π, (wi*)) je faktorová algebra algebry A podle kongruence π
- často klademe wi* := wi
-
Normální podgrupa
- grupa (G, ·, 1, -1)
- podgrupa (N, ·, 1, -1), N ⊆ G
- normální podgrupa N ◁ G :⇔
- ∀x ∈ G: xNx-1 ⊆ N, kde
- xNx-1 := {xnx-1 | n ∈ N}
-
Ideál okruhu
- (R, +, 0, -, ·) okruh, I podokruh okruhu R
- levý ideál: ∀r ∈ R: rI := {ri | i ∈ I} ⊆ I
- pravý ideál: ∀r ∈ R: Ir := {ir | i ∈ I} ⊆ I
- ideál I ◁ R: ∀r ∈ R: rI ⊆ I ∧ Ir ⊆ I
-
Přímý součin algeber
- Ak = (Ak, (wi(k))) algebry téhož typu
- A := A1×...×Ak
- wi((a1(k))k, ..., (ani(k))k) := (wi(k)(a1(k), ..., ani(k)))k
- příklad pro (A1, w(1)), (A2, w(2)):
- (A1×A2, w)
- w((a1(1), a1(2)), (a2(1), a2(2))) := (w(1)(a1(1), a2(1)), w(2)(a1(2), a2(2)))
|
|
