-
Operace
- n-ární operace na A
- w: An → A
-
Parciální operace
- n-ární parciální operace na A
- w: Dn → A, D ⊆ A
-
Univerzální algebra
- A = (A, (wi))
- wi: ni-ární operace na A
- (ni): typ algebry
-
Neutrální prvek
- vzhledem k operaci ○
- e ∈ A
- levý: ∀x ∈ A: e ○ x = x
- pravý: ∀x ∈ A: x ○ e = x
- neutrální: ∀x ∈ A: e ○ x = x ○ e = x
- jednotkový (1) při multiplikativní operaci, nulový (0) při aditivní operaci
-
Inverzní prvek
- k x ∈ A vzhledem k operaci ○
- neutrální prvek e ∈ A
- levý: y ○ x = e
- pravý: x ○ y = e
- inverzní: y ○ x = x ○ y = e
- značení: x-1 při multiplikativní operaci, -x při aditivní operaci (opačný prvek)
-
Asociativita
- operace ○
- ∀x, y, z ∈ A: (x ○ y) ○ z = x ○ (y ○ z)
-
Operace s dělením
∀a, b ∈ A ∃x, y ∈ A: a ○ x = b ∧ y ○ a = b
-
Komutativita
∀x, y ∈ A: x ○ y = y ○ x
-
Distributivita
- · je distributivní nad +
- levá: ∀x, y, z ∈ A: x · (y + z) = x · y + x · z
- pravá: ∀x, y, z ∈ A: (y + z) · x = y · z + z · x
-
-
Pologrupa
- (A, ○), grupoid
- ○ je asociativní
-
Monoid
- (A, ○, e), pologrupa
- neutrální prvek e
-
Grupa
- (A, ○, e, -1), monoid
- inverzní prvek -1 ke každému a ∈ A
-
Abelovská grupa
- (A, ○, e, -1), grupa
- ○ je komutativní
-
Okruh
- (A, +, 0, -, ·)
- (A, +, 0, -) je abelovská grupa
- (A, ·) je pologrupa
- · je distributivní nad +
-
Okruh s jednotkovým prvkem
- (A, +, 0, -, ·, 1), okruh
- (A, +, 0, -) je abelovská grupa
- (A, ·, 1) je monoid
- · je distributivní nad +
-
Komutativní okruh
- (A, +, 0, -, ·), okruh
- (A, +, 0, -) je abelovská grupa
- (A, ·) je pologrupa
- · je distributivní nad +
- · je komutativní
-
Obor integrity
- (A, +, 0, -, ·, 1), okruh
- (A, +, 0, -) je abelovská grupa
- (A, ·, 1) je monoid
- · je distributivní nad +
- · je komutativní
- 0 ≠ 1
- neexistují dělitelné nuly: ∀x, y ∈ A, x ≠ 0, y ≠ 0: x · y ≠ 0
-
Těleso
- (A, +, 0, -, ·, 1), okruh
- (A, +, 0, -) je abelovská grupa
- (A {0}, ·, 1, -1) je grupa
- · je distributivní nad +
-
Pole
- (A, +, 0, -, ·, 1), okruh
- (A, +, 0, -) je abelovská grupa
- (A {0}, ·, 1, -1) je abelovská grupa
- · je distributivní nad +
-
Svaz
- (A, ∩, ∪)
- ∩, ∪ jsou komutativní
- ∩, ∪ jsou asociativní
- absorbční zákony: ∀a, b, c ∈ A: a ∩ (a ∪ b) = a, a ∪ (a ∩ b)
-
Distributivní svaz
- (A, ∩, ∪), svaz
- ∩ je distributivní nad ∪
- ∪ je distributivní nad ∩
-
Ohraničený svaz
- (A, ∩, ∪, 0, 1), svaz
- 0 je nulový prvek (∀a ∈ A: a ∪ 0 = a)
- 1 je jednotkový prvek (∀a ∈ A: a ∩ 1 = a)
-
Komplementární svaz
- (A, ∩, ∪, 0, 1), ohraničený svaz
- ∀a ∈ A ∃a': a ∩ a' = 0 ∧ a ∪ a' = 1
-
Booleův svaz
(A, ∩, ∪, 0, 1), distributivní a komplementární svaz
-
Booleova algebra
- (A, ∩, ∪, 0, 1, ')
- (A, ∩, ∪, 0, 1) je Booleův svaz
- ∀a ∈ A a ∩ a' = 0 ∧ a ∪ a' = 1
-
Řád prvku
- (A, ·, e, -1) grupa, a ∈ A
- o(a) := |{a0 = e, a1, a-1, a2, a-2, ...}| = |{ak | k ∈ Z}|
- o(a) ∈ N ∨ o(a) = |N| = ∞
-
Řád grupy
- (A, ·, e, -1) grupa
- |A| řád grupy
- ∀a ∈ A: o(A) ≤ |A|
-
Symetrická grupa
- SM := {f: M → M | f je bijektivní}
- (SM, ○, idM, -1) symetrická grupa na M
- prvky SM se nazývají permutace množiny M
-
Relace ekvivalence
- relace = ⊆ M×M
- binární, reflexivní, symetrická, tranzitivní
-
Částečně (neostře) uspořádaná množina
- (M, ≤)
- relace ≤ ⊆ M×M:
- binární, reflexivní, slabě antisymetrická, tranzitivní
-
Ostře uspořádaná množina
- (M, <)
- relace < ⊆ M×M:
- binární, ireflexivní, asymetrická, tranzitivní
-
Řetězec
- (M, R)
- relace částečného uspořádání R ⊆ M×M:
- srovatelnost: ∀x, y ∈ M: xRy ∨ yRx
-
Nejmenší (největší) prvek množiny
- (M, ≤) uspořádaná množina
- nejmenší prvek: k ∈ M: ∀x ∈ M: k ≤ x
- největší prvek: k ∈ M: ∀x ∈ M: k ≥ x
-
Minimálni (maximální) prvek množiny
- (M, ≤) uspořádaná množina
- minimální prvek: m ∈ M: ∀x ∈ M: x ≤ m ⇒ x = m
- maximální prvek: m ∈ M: ∀x ∈ M: x ≥ m ⇒ x = m
-
Dolní (horní) závora množiny
- (M, ≤) uspořádaná množina
- N ⊆ M
- dolní závora: u ∈ N: ∀x ∈ N: u ≤ x
- horní závora: v ∈ N: ∀x ∈ N: x ≤ v
-
Infimum, supremum
- infimum: největší prvek všech dolních závor
- supremum: nejmenší prvek všech horních závor
|
|