complementi matematica finanziaria

tempi e importi

• Questi 2 aspetti agiscono su:
• 1.Valore oggi di un futuro diritto a un importo
• 2.Importo oggi da investire, che valore avrà, e come lo potrei investire?

Questi ragionamenti pongono le basi delle leggi finanziarie; le leggi finanziarie riguardano lo scambio di una tipologia di bene = moneta

• Se combiniamo gli importi con i tempi otteniamo altre grandezze essenziali
• - Tasso = importo/importo
• - Flusso = importo/tempo
• - Intensità(es: intensità di accrescimento di capitale) = flusso/tempo = tasso/tempo

• Interesse = corrispettivo per aver ceduto temporaneamente un importo C = I (C=capitale)
• I + C = M(montante)
• I = M – C
• I/C = tasso d’interesse; esso dipende dalla durata dell’oeprazione(es: tasso mensile, annuale, etc.)
• Di solito il tasso se non specificato diversamente è tasso ANNUALE = i(in italia) = r(estero)

• D = sconto = riduzione di un importo(C) per ottenere la disponibilità immediata di C => D = M-C
• D/C = Tasso di sconto

• Le leggi finanziarie = risultato dei diversi modi di calcolo dell’interesse
• INTERESSE ≠ SCONTO

• VA = Valore attuale = importo odierno(C-D) = importo futuro C
• MAI SOMMARE 2 IMPORTI DI TEMPI DIVERSI

Capitalizzazione = ho un importo oggi -->voglio sapere il valore che avrà domani (ci si sposta avanti nel tempo)

Attualizzazione = ho un importo domamni -->quanto vale oggi( ci si sposta indietro nel tempo)

• Regime finanziario = applicazione di una particolare legge finanziaria; esistono 2 principali regimi finanziari
• - Regime di capitalizzazione; 2 tipi
• 1- capitalizzazione semplice
• 2- capitalizzazione composta
• - Regime di attualizzazione/sconto; 3 tipi
• 1- sconto commerciale
• 2- sconto razionale
• 3- sconto composto

• M = C x fattore di montante; il fattore di montante sempre > 1
• C = M x fattore di attualizzazione; fattore di attualizzazione sempre < 1
• C= M x fatt. att = C x fat. Di mont. x fat di att.
• Il fattore di attualizzazione = 1/fat. Montante => C=M/Fat.mont M=C/Fat.att

In teoria Cxfattore di attualizzazione x fattore di capitalizzazione = C; nella pratica bancaria non è MAI così.

Capitalizzazione semplice => I = proporzione di C, numero periodo, interesse periodico

• I = C ∙ i ∙ n
• 40 = 4000 x 0,05 x 4

I è aggiunto a C SOLO AL TERMINE DEI PERIODI => C e I viaggiano su 2 linee diverse che si ricongiungono al termine del periodo.

M_n=M in relazione ad n = C+I = C+(c∙i∙n) = C(1+i∙n) = fattore di capitalizzazione semplice

Capitalizzazione composta => I = I dell’interesse semplice MA, gli interessi vengono calcolati alla fine di ogni periodo dell’interesse => C e I viaggiano sulla stessa linea ricongiungendosi per ogni sotto periodo(es: mese) del periodo del prestito(es: anno)

• Esempio pratico
• n= 1 => M₁ = C(1+i)
• n=2 => M₂ = M₁+M₁∙i = M₁(1+i) = C(1+i)²
• n=3 => M₃= M₂+M₂∙i= C(1+i)³

• diciamo che graficamente la relazione int. Composto e semplice è la seguente

I_n= M_n – C =C (1+i)ⁿ-C = C[(1+i)ⁿ-1]



n < anno => t = g/365

g = n giorni tra inizio e fine del prestito

• E’
• convenzione usare un rapporto 360/365 => uso solo di feriali con un rapporto
• “giorni effettivi/giorni effettivi”.

M_t = C(1+i ∙ t) - Capitalizzazione semplice

M_t = C(1+i)^t - Capitalizzazione composta

M^_t = C µ(t) = fattore di montante astratto

• µ(t) dev’essere ≥ 1
• µ(0) dev’essere = 1
• µ(t) dev’essere crescente = µ’(t) >0

• -Sconto commerciale
• M_t ∙ d ∙ t = S (o D se preferisci)

d = tasso di sconto annuo unitario

C = M_t – S = M_t – M_t ∙ d ∙ t = M_t(1-d ∙ t)

• Lo sconto commerciale è usato per:
• •Sconto di cambiali
• •Sconto titoli
• •Usato per operazioni con durate brevi, in quanto se t o/e d danno un risultato > 1 l’importo si azzera => t < 1/d
• •i nella medesima capitalizzazione/attualizzazione è sempre > d per gli interessi che con l’attualizzazione si ottiene subito(si riducono un pochino perché non aspetto)

-Sconto Razionale(o sconto semplice) = S = (M_t ∙ i ∙ t)/(1 + i ∙ t)

C = M_t – S = M_t - (M_t ∙ i ∙ t)/(1 + i ∙ t) => (M_t /(1 + i ∙ t) = M_t(1/1+I ∙ t)

Questa tipologia di sconto non ha problemi di tempo

• -Sconto composto
• F_A = 1/F_M => 1/(1+i)^t => C(o V) = M(1+i)^-t = M/(1+i)^t
• S = C/[1-(1+i)^-n]

C = M_t v(t) -> fattore di attualizzazione astratto

• v(t) dev’essere ≤ 1
• v(0) dev’essere = 1
• v(t) dev’essere decrescente = v’(t) < 0

• -Regime di capitalizzazione misto
• -Regime di capitalizzazione a tassi variabili

• Il primo è dato dall’unione della capitalizzazione semplice e composta => per gli anni si usa il composto e per i mesi la semplice

Il secondo invece vede l’applicazione di un tasso diverso tra il periodo temporale tra C e Mt

M₄ = C(1+i₁)^t1 (1+i₂)^t2-t1 (1+i₃)^t3-t2 (1+i₄)^t4-t3

NB: IL TASSO RICHIEDE SEMPRE LA SPECIFICA DEL TEMPO(annuale, mensile) a pena di inculata a sangue :P

I tassi si dicono equivalenti (in capitalizzazione) quando danno lo stesso montante

• Dati:
• i = tasso annuo
• k = n. periodi in cui dividere l’anno
• i_k = tasso periodico
• esempio: i₁/k = i₂ = semestrale, i_1/2 = bimestrale, etc.

• C.S
• C(1+i_k K) => i_k = i/K

• C.C
• C(1+i_k)^k => 1+i = (1+i_k)^k => i_k = (1+i)^1/k – 1 = [radice kappesima di (1+i)] -1 = formula per convertire il tasso di cap. composta annuale in tasso di k periodi

NB: i in C.c < i in CS se si hanno stesso tempo(periodi) e stesso montante.

C = C1+C2 => M = (C1+C2)(1+i)^t = C1(1+I)^t + C2(1+i)^t = M1 + M2

La scindibilità consiste nella possibilità di interrompere un’operazione di capitalizzazione e riprenderla subito dopo mantenendo il solito montante dell’operazione priva di interruzioni.

• C.s non gode di scindibilità = 1000€ - 6% tasso annuale - 3 anni
• M= 1000(1+3x0,06) = 1080

• Se interrompiamo dopo 1 anno = 1000(1+1x0,06) = 1060 => 1060(1+2x0,06) = 1187,2 ≠ 1080
• NON E’ SCINDIBILE

C.c gode di scindibilità = 1000(1+3)^0,06 = 1191,016

1000(1+1)^0,06 = 1060 => 1060(1+3)^0,06 = 1191,016 => SCINDIBILITA’

t₁,t₂ = periodo tra t₁ e t₂

u(t₁,t₂) => u(t₁,t₂) = [1+i(t₂ - t₁)] => u(t₁,t₃)= u(t₁,t₂)∙ u(t₂,t₃)

v(t₁,t₃) = v(t₁,t₂) ∙ v(t₂,t₃) = sconto composto è scindibile

Di conseguenza indipendentemente da come ci si muove, se si usa la capitalizzazione e lo sconto composti si ottiene sempre(per medesimo tempo e tasso) il solito montante/valore attuale => indipendenza del risultato dal percorso, diversamente da cap e scon. semplice/commerciale.

• M_T^C = C ∙ u(0, T)
• M_T^KC= k ∙ C ∙ u(0, T) => valute non incidono sul calcolo dei montanti(k è il valore di conversione della valuta)

M(t – M(t +△t) = △M(t) = I(interesse)

△M(t) / M(t) = tasso d’interesse

△M(t)/ △t = flusso degli interessi

[△M(t)/M(t)]/ △(t) = △M(t)/ (M(t) ∙ △(t)) = intensità di accrescimento degli interessi∙

L'incremento del montante è dato dal montante al tempo t+∆t - il montante al tempo t =

∆M(t)=M(t+∆t) − M(t)

• Entrambi gli addendi sono divisibili per ∆tM(t) =>

• La funzione, date le leggi stabilite, è derivabile =>

• La forza d'interesse nel caso della cap. semplice è molto debole e tende a ridurre l'incremento di montante sempre di più.

• Nel caso della cap. composta
• NB: in relazione ai periodi intermedi Ce^{δ k t k}= Ce^δt =>
• δk = δ/k

• Se attualizziamo vari importi x, ad un tempo intermedio t, tra t₀ e t_m , otterremo di dover sommare varie attualizzazioni e capitalizzazioni al tempo t =>
• dove t_j porta al valore negativo(quindi attual) quando > di t.

• Fatto ciò, se volessimo capitalizzare o attualizzare l'importo così determinato ad un tempo diverso, sarebbe sufficiente moltiplicarlo per il fattore di montante o di attualizzazione, senza ulteriori passaggi:
• dove r rappresenta il punto nel tempo diverso da t

• Ma in virtù della scindibilità => equità finanziaria